양주고1수학과외, 귀류법에서 양화사와 부등호를 함께 뒤집는 연습
옥정동이나 덕계동에서 귀가한 뒤 학교 프린트의 명제 문제를 풀 때, 부등호는 바꾸었지만 ‘모든’과 ‘어떤’의 관계는 그대로 두는 경우가 있다. 귀류법에서는 가정한 부정이 정확해야 하며, 그 가정에서 어떤 모순이 생겼는지 식으로 남겨야 한다.
부등호만 바꾼 부정은 명제 전체의 부정이 아니다
다음 명제를 보자.
모든 실수 x에 대하여 x2+1>0이다.
이를 기호로 쓰면 ∀x∈ℝ, x2+1>0이다. 이 명제의 부정은
∃x∈ℝ에 대하여 x2+1≤0이다.
즉 ‘모든’은 ‘어떤’으로 바뀌고, ‘>’는 ‘≤’로 바뀐다. 한 요소만 바꾸면 전체 명제의 부정이 되지 않는다.
실제 풀이에서 빠진 확인 흔적
양주 지역 고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정이 겹친 주간에 확인한 풀이에서, 학생은 위 명제의 부정을 ∀x∈ℝ, x2+1≤0이라고 적었다. 부등호에는 표시를 했지만 양화사는 그대로 두었고, 여백에도 ‘귀류법에서 가정한 부정이 어떤 모순을 만드는지 기록’이라는 확인 흔적이 없었다.
이 상태는 귀류법의 계산을 전혀 모르는 것이 아니라, 부정을 만든 뒤 그 가정이 실제로 모순을 일으키는지 점검하는 과정이 아직 불안정한 경우에 가깝다.
가정에서 모순까지 한 줄씩 연결하기
원래 명제를 귀류법으로 증명하려면 그 부정을 가정한다.
∃x∈ℝ에 대하여 x2+1≤0이라고 하자.
그런데 모든 실수 x에 대해 x2≥0이므로
x2+1≥1>0
이다. 따라서 같은 x에 대해 x2+1≤0이면서 동시에 x2+1>0이어야 한다. 이는 성립할 수 없으므로 가정한 부정이 모순을 만들고, 처음 명제는 참이다.
풀이 여백에는 다음처럼 남긴다.
- ‘모든’의 부정 → ‘어떤’
- ‘>’의 부정 → ‘≤’
- 가정: 어떤 실수 x에 대해 x2+1≤0
- 계산 결과: x2+1≥1>0
- 모순: ≤0과 >0의 동시 성립
체크 표시를 계산의 일부로 만들기
문제를 읽은 직후 빈칸에 ‘양화사’, ‘부등호’, ‘모순’을 적고 각각 확인한 뒤 식을 전개한다. 예를 들어 ‘모든 실수 x에 대해 x2−4x+5>0’의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대해 x2−4x+5≤0’이다.
이 가정에서
x2−4x+5=(x−2)2+1≥1>0
이므로 역시 부정의 가정과 모순된다. 학생이 직접 ‘양화사 확인’, ‘부등호 확인’, ‘모순 기록’에 표시한 뒤 계산을 이어 가는지를 본다.
일주일 뒤에는 문제의 첫 행동을 바꿔 확인한다
일주일 뒤에는 같은 식을 다시 주지 않고 다음 명제를 제시한다.
어떤 정수 n에 대해서 n2+2n+2=0이다.
학생이 먼저 ‘어떤’의 부정은 ‘모든’임을 적고, 등식의 부정은 ‘≠’임을 표시하는지 확인한다. 따라서 부정은 ‘모든 정수 n에 대하여 n2+2n+2≠0’이다.
이때 정답만 맞히는 것보다, 문제를 읽고 양화사와 조건을 먼저 분리한 뒤 가정과 모순을 기록하는 순서를 스스로 선택하는지가 판단 기준이다. 맞힌 문제라도 풀이 시작까지 오래 걸렸다면 재확인 대상으로 남겨, 기록 절차가 실제 판단으로 자리 잡았는지 살핀다.