양주 고3수학과외, 벡터의 각을 틀린 첫 줄에서 다시 확인하기
옥정동·덕계동·덕정동 등 양주 생활권의 고3 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 한 문제의 풀이 흔적을 끝까지 점검할 필요가 있다. 양주고등학교, 옥정고등학교, 덕현고등학교 등 학교가 다르므로 동일한 통학·학습 일정으로 단정하지 않고, 해당 학생의 실제 풀이 시간을 기준으로 학습 장면을 구성했다.
결론이 아니라 최초 오류 줄을 표시한 풀이
학생은 벡터 u=(2,-1,2), v=(1,2,-2)가 이루는 각을 구하면서 해설의 결론인 “직각”만 옮겨 적었다.
u·v=2×1+(-1)×2+2×(-2)
=2+2-4=0
따라서 cosθ=0, θ=90°
위 풀이에서 최초 오류는 두 번째 줄이다. (-1)×2는 -2인데 이를 +2로 바꾸었으므로 내적을 0으로 계산했다. 실제 내적은
u·v=2-2-4=-4
이다. 두 벡터의 크기는 |u|=√(4+1+4)=3, |v|=√(1+4+4)=3이므로
cosθ=u·v/(|u||v|)=-4/9
이다. 따라서 θ는 90°보다 큰 둔각이며, θ=cos-1(-4/9)로 나타낸다. 내적이 음수라는 사실과 각의 범위 90°<θ<180°가 서로 맞아야 한다.
부호와 각의 범위를 연결하는 수정 습관
- 오답 줄에 형광펜으로 “(-1)×2의 부호 오류”라고 표시한다.
- 성분별 곱을 색인처럼 u1v1+u2v2+u3v3로 다시 적어 문자 메모만으로 처리하지 않는다.
- 내적의 부호를 확인한 뒤 예각·직각·둔각 중 가능한 범위를 먼저 결정한다.
- 수정한 내적 -4를 공식에 재대입하고, -1≤cosθ≤1인지 확인한다.
이 경우 cosθ=-4/9는 정의역 [-1,1] 안에 있고 음수이므로 둔각이라는 방향 판정과도 일치한다. 좌표에서 두 방향의 성분을 곱해 얻은 값이 음수라는 점을 그래프의 둔한 각과 연결하면, 90°라고 결론 내린 풀이가 처음부터 맞지 않았음을 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음에는 같은 숫자를 반복하지 않고 a=(1,2,2), b=(-2,1,2)가 이루는 각을 확인했다.
a·b=1×(-2)+2×1+2×2=-2+2+4=4
|a|=√9=3, |b|=√9=3이므로 cosφ=4/9이다. 따라서 0°<φ<90°인 예각이다. 이번에는 내적이 양수이고 각의 범위도 예각으로 연결되며, 4/9가 [-1,1] 안에 있으므로 계산과 방향 판정이 모두 일치한다.
학생은 마지막에 “내적 음수이면 둔각, 내적 양수이면 예각”이라는 문장을 새 문제의 부호에 적용하고, 계산 결과를 공식과 각의 범위에 각각 대입해 독립적으로 검증했다.