옥정동고2수학과외

옥정동고2수학과외: 수학적 귀납법에서 성립 범위부터 확인하기

옥정고등학교와 옥빛고등학교 학생들이 방과 후 이동을 마치고 확보한 자습시간에 수열 공식을 정리할 때, 몇 개 항을 대입해 맞는지만 확인하고 증명을 끝내는 경우가 있다. 그러나 수학적 귀납법은 계산 확인이 아니라, 정해진 범위의 모든 항에 명제가 이어지는 구조를 보여주는 방법이다.

몇 항이 맞는 것과 귀납증명은 다르다

다음 명제를 증명한다고 하자.

S_n=1+2+⋯+n=n(n+1)/2, n≥1

풀이 중

S₁=1, S₂=3, S₃=6

을 계산한 뒤 “몇 개 항에서 성립하므로 증명되었다”고 적는다면, 이는 공식 확인일 뿐 귀납증명이 아니다. n=4 이후에도 계속 성립하는 연결 근거가 빠져 있기 때문이다.

첫 항과 다음 항의 연결을 식으로 남기기

먼저 시작점 n=1에서 명제가 참인지 확인한다.

S₁=1, 1×(1+1)/2=1

이제 임의의 정수 k≥1에 대해

S_k=k(k+1)/2

라고 가정한다. 이 가정은 공식이 모든 n에 대해 참이라는 뜻이 아니라, k에서 성립한다고 놓는 단계다. 그러면

S_k+1=S_k+(k+1)
=k(k+1)/2+(k+1)
=(k+1)(k+2)/2

이므로 k에서 성립하면 k+1에서도 성립한다. 시작값 n=1에서 출발해 다음 항으로 계속 이어지므로 n≥1인 모든 정수 n에서 공식이 성립한다.

원래 식을 보존하지 않으면 다음 항을 만들 수 없다

귀납 단계에서 학생이

S_k+1=k(k+1)/2+(k+1)=k(k+2)/2

라고 쓴다면, 마지막 변형이 틀렸다. 실제로 공통인수는 k+1이므로

k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2

이다. k=2를 대입하면 잘못된 식은 2×4/2=4를 주지만, 실제 S₃=1+2+3=6이므로 즉시 오류를 확인할 수 있다. 다음 항을 만들 때는 이전 합 S_k에 정확히 k+1을 더하고, 인수분해 뒤 원래 관계가 보존되는지 확인해야 한다.

성립 범위의 끝점을 바꾸어도 시작 단계를 조정하는가

이번에는 홀수의 합에 대해

1+3+5+⋯+(2n-1)=n²

을 n∈(1,4]에서 증명한다고 하자. 열린 끝점 1은 포함되지 않고 닫힌 끝점 4는 포함되므로 실제 정수 범위는 n=2, 3, 4이다. 따라서 기초 단계는 n=2에서 확인해야 한다.

1+3=4=2²

그리고 n=k에서 성립한다고 하면

1+3+⋯+(2k-1)=k²
⇒ 1+3+⋯+(2k+1)=k²+(2k+1)=(k+1)²

이다. k=2, 3에 대해 진행하면 닫힌 끝점 n=4까지 도달한다. 반대로 범위가 [1,4]라면 n=1을 포함하므로 기초 단계를 n=1에서 시작해야 한다. 괄호의 모양을 확인하지 않고 시작 항을 정하면 증명 범위를 잘못 말하게 된다.

귀납법 풀이를 마친 뒤에는 시작값, 귀납 가정, k에서 k+1로의 식, 끝점 포함 여부를 차례로 표시한다. 옥정동에서 방과 후 자습시간에 새로운 수열 공식이 제시되었을 때도 몇 항의 대입 결과가 아니라, 해당 범위 전체를 연결하는 식이 남아 있는지 확인해야 한다.