옥정동 고3수학과외에서 벡터의 역할을 분리한 풀이
옥정동의 옥정고등학교와 옥빛고등학교 학생은 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에 풀이를 정리했다. 이번에는 통학 동선이 짧은 날의 자습시간을 활용해 계산보다 점의 위치와 직선의 방향을 구분하는 과정을 다시 확인했다. 같은 양주시의 덕현고등학교·덕계고등학교·덕정고등학교는 참고 학교이며, 옥정동 소재 학교와 구분해 다룬다.
점의 위치벡터를 직선의 방향으로 쓰면서 생긴 오류
문제는 다음과 같았다.
직선 ℓ이 점 A(1, -2)를 지나고 방향벡터가 d=(2, 3)일 때, 점 P(4, 1)을 지나며 ℓ에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.
학생은 점 P의 위치벡터 OP=(4, 1)을 새 직선의 방향벡터로 사용해 다음과 같이 적었다.
오답: d·OP=(2, 3)·(4, 1)=8+3=11
따라서 두 직선은 수직이 아니므로 이 방향을 사용할 수 없다. 이 식이 틀린 이유는 OP가 원점에서 P까지의 위치를 나타낼 뿐, P를 지나는 직선의 방향을 자동으로 결정하지 않기 때문이다. 특히 직선이 원점을 지나지 않으면 위치벡터와 방향벡터를 같은 역할로 볼 수 없다.
수직 조건에서 방향벡터를 새로 정하는 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 주어진 직선의 방향벡터를 고정했다.
d=(2, 3), 새 직선의 방향벡터를 v=(a, b)라 하면 수직 조건은
2a+3b=0
이다. a=3, b=-2로 정하면 v=(3, -2)이고, 실제로
(2, 3)·(3, -2)=6-6=0
이 성립한다. 따라서 점 P(4, 1)을 지나므로 구하는 직선은
(x, y)=(4, 1)+s(3, -2) (s∈ℝ)
이다. 성분식으로 쓰면 x=4+3s, y=1-2s이다. 이를 소거하면 2x+3y=11이 된다. 원래 직선은 (x, y)=(1, -2)+t(2, 3)이므로 2x+3y=2-6=-4이다. 두 직선의 법선벡터가 각각 (2, 3), (2, 3)이고 한 점 P(4, 1)은 2·4+3·1=11을 만족하므로 식과 위치도 함께 검산했다.
부호를 바꾼 조건으로 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고 계수와 부호를 바꾸어 확인했다.
직선 m의 한 점이 R(-2, 3)이고 방향벡터가 w=(-4, 1)이다. 점 Q(1, 2)를 지나며 m에 수직인 직선의 방향벡터와 방정식을 구하여라.
새 직선의 방향벡터를 u=(a, b)라 두면
-4a+b=0
이므로 a=1, b=4를 선택할 수 있다. 실제로
w·u=(-4, 1)·(1, 4)=-4+4=0
이다. 따라서 답은
(x, y)=(1, 2)+r(1, 4) (r∈ℝ)
이며, 직선식은 4x-y=2이다. 학생은 이번에는 Q의 위치벡터 (1, 2)를 방향벡터로 쓰지 않고, 먼저 내적 조건으로 방향을 정한 뒤 점 Q를 시작점으로 배치했다. 이를 통해 방향은 내적 조건으로 결정하고, 위치는 직선의 기준점으로 사용한다는 절차를 유지했다.