옥정동고1수학과외, 반례는 가정부터 확인해야 한다
“모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x>1\)이면 \(x^2>x+2\)이다”라는 명제를 살펴보자. 반례를 찾는 문제에서 결론만 깨뜨리는 수를 고르면 충분하다고 생각하기 쉽지만, 그 수가 먼저 가정 \(x>1\)을 만족해야 한다.
결론만 틀리게 만든 값은 반례가 아니다
풀이 기록에는 다음과 같은 값이 적혀 있었다.
x=0을 대입하면 \(0^2=0\), \(0+2=2\)이므로 \(x^2>x+2\)는 거짓이다. 따라서 \(x=0\)은 반례이다.
계산 자체는 \(0>2\)가 거짓임을 보여 주지만, \(x=0\)은 명제의 가정인 \(x>1\)을 만족하지 않는다. 따라서 이 값은 결론을 깨뜨렸더라도 반례로 사용할 수 없다.
반례 후보를 고르는 순서
가정과 결론을 분리하면 판단이 명확해진다.
- 가정: \(x>1\)
- 결론: \(x^2>x+2\)
먼저 \(x= \frac{3}{2}\)가 가정을 만족하는지 확인한다. \(\frac{3}{2}>1\)이므로 조건 안에 들어온다. 이제 결론을 계산하면
\[ x^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}, \qquad x+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}=\frac{14}{4}. \]
\(\frac{9}{4}<\frac{14}{4}\)이므로 \(x^2>x+2\)는 거짓이다. 가정을 만족하면서 결론을 거짓으로 만드는 값이므로 \(x=\frac{3}{2}\)는 올바른 반례다.
식보다 먼저 적어야 할 한 줄
이 학생에게는 계산 속도를 높이는 연습보다 반례의 자격을 판정하는 순서가 필요했다. 새로운 문제를 풀 때 반례 후보 옆에 다음 두 줄을 따로 적도록 했다.
① 가정 확인: 후보가 조건을 만족하는가?
② 결론 확인: 조건을 만족한 상태에서 결론이 거짓인가?
예를 들어 “\(a\ge 2\)이면 \(a^2\ge 4\)이다”의 반례로 \(a=1\)을 적었다면, \(1^2<4\)라는 계산 전에 \(1\ge2\)가 거짓임을 표시해야 한다. 이 값은 결론은 깨뜨리지만 가정 밖에 있으므로 반례가 아니다. 실제로 \(a\ge2\)인 수에서는 \(a^2\ge4\)가 성립하므로 반례를 만들 수 없다.
옥정동 통학 뒤 짧은 시간에 남길 기록
옥정고등학교와 옥빛고등학교의 학교 프린트를 풀고 귀가하는 옥정신도시 생활권에서는 긴 풀이보다 조건 판정을 짧게 남기는 방식이 유용하다. 옥정25단지나 옥정마을16단지로 이동한 뒤 문제 한두 개를 점검할 때도 후보값 옆에 ‘가정 만족 여부’를 먼저 표시하면, 결론만 계산하고 넘어가는 오류를 발견할 수 있다.
표현이 달라져도 같은 판단을 찾는지 확인하기
문제집에서 다음과 같이 표현을 바꾸었다고 하자.
“\(t\le -2\)인 모든 실수 \(t\)에 대해 \(t^2\ge -2t\)임을 반례를 이용해 판단하라.”
후보 \(t=-1\)은 \((-1)^2=1\), \(-2(-1)=2\)이므로 결론을 거짓으로 만들지만, \(-1\le-2\)가 아니어서 반례가 아니다. 반면 \(t=-\frac{3}{2}\) 역시 가정을 만족하지 않는다. 실제로 \(t\le-2\)이면 \(t(t+2)\ge0\)이고, \(t^2\ge-2t\)가 성립한다. 따라서 이 명제에는 반례가 없다고 판단해야 한다.
학교 프린트가 “조건을 만족하는 예를 먼저 골라라”라고 쓰고 문제집이 “반례의 자격을 검토하라”고 써도, 두 표현에서 공통으로 찾아야 할 수학적 행동은 같다. 최종 검산이 계산 반복이 아니라 가정과 결론을 각각 확인하는 과정으로 바뀌었는지 살핀다.