삼숭동고2수학과외, 좌극한과 우극한을 따로 계산한 뒤 하나로 판단하기
“왼쪽에서 2, 오른쪽에서 3이므로 극한은 2입니다.”
삼숭동에서 고2 수학을 공부하는 학생의 풀이에서 발견된 첫 줄이었다. 그러나 좌극한과 우극한의 값이 다르면 전체 극한은 존재하지 않는다. 양주고등학교의 학교 프린트나 지필평가를 준비할 때도 계산 과정만 따라가기보다, 두 방향의 결과를 연결해 결론을 내려야 한다. 같은 양주시의 옥빛고등학교·덕현고등학교·덕계고등학교·덕정고등학교는 참고 학교일 뿐, 각 학교의 내신 일정과 문제 구성은 다를 수 있으므로 주간 학습에서는 학생이 실제로 받은 문항의 표현 변화를 기준으로 확인한다.
왼쪽 2, 오른쪽 3이면 전체 극한은 왜 없는가
다음 함수를 살펴보자.
f(x) = { 2x+1 (x<1), x+2 (x>1) }
x→1일 때 왼쪽에서는 2x+1을 사용하므로
lim(x→1-) f(x) = 2·1+1 = 3
오른쪽에서는 x+2를 사용하므로
lim(x→1+) f(x) = 1+2 = 3
이 경우에는 좌극한과 우극한이 모두 3이어서
lim(x→1) f(x) = 3
이라고 쓸 수 있다. 전체 극한은 양쪽에서 같은 값으로 접근할 때만 존재한다.
첫 기호에서 좌우 결과를 연결하지 못한 장면
계수와 부호가 바뀐 문항에서는 다음과 같은 풀이가 나왔다.
lim(x→0-) f(x)=2, lim(x→0+) f(x)=3
∴ lim(x→0) f(x)=2
밑줄을 그어야 할 부분은 마지막 결론의 등호다. 좌극한 2를 전체 극한으로 옮길 수 있는 근거가 없으며, 우극한이 3이므로 두 값이 일치하지 않는다.
올바른 중간식은 다음과 같다.
lim(x→0-) f(x)=2
lim(x→0+) f(x)=3
2≠3
∴ lim(x→0) f(x)는 존재하지 않는다.
이때 함수의 f(0)이 어떤 값으로 정해져 있는지는 전체 극한의 존재 여부를 바꾸지 않는다. 극한은 x=0에서의 함수값이 아니라, 0의 왼쪽과 오른쪽에서 다가갈 때의 값을 비교하기 때문이다.
분수와 정수가 섞여도 비교 순서는 같아야 한다
새 문항에서는 계산 결과가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
lim(x→2-) g(x)=1/2
lim(x→2+) g(x)=1/2
이번에는 두 값이 같으므로
lim(x→2) g(x)=1/2
이다. 반대로
lim(x→2-) g(x)=-1
lim(x→2+) g(x)=1/2
라면 -1≠1/2이므로 전체 극한은 존재하지 않는다. 수치가 정수인지 분수인지는 판단 기준이 아니며, 좌극한과 우극한의 일치 여부가 기준이다.
풀이할 때는 좌우극한을 각각 적은 다음, 그 아래에 반드시 비교식을 남긴다. 첫 줄의 값 하나를 곧바로 전체 극한으로 옮기지 않고 좌극한 = 우극한인지 확인하는 습관이 새로운 계수와 부호에서도 유지되는지 살핀다.