삼숭동 고3 수학과외에서 다시 세우는 공간도형의 첫 판단
삼숭동의 양주고등학교 학생은 학교별 내신 일정과 주간 학습량에 따라 공간도형 문제를 복습하고 있었다. 같은 양주시의 옥빛고등학교, 덕현고등학교, 덕계고등학교, 덕정고등학교 학생에게도 적용할 수 있지만, 학교별 시험 운영을 하나의 경향으로 단정하지 않고 학생이 실제로 적은 풀이를 기준으로 점검했다.
앞 문제의 결론을 새 그림에 옮긴 오답
학생은 직선 l과 평면 α의 위치관계를 묻는 문제에서 다음과 같이 계산했다.
직선 l의 방정식이 (x,y,z)=(1,2,0)+t(2,-1,1), 평면 α가 x+2y-z=5일 때, 직선의 방향벡터를 평면의 법선벡터 n=(1,2,-1)과 비교하여
(2,-1,1)·(1,2,-1)=2-2-1=-1
이라고 계산한 뒤 “앞 문제처럼 평행”이라고 결론 내렸다. 이 판단은 틀렸다. 내적이 0이 아니므로 직선의 방향벡터는 평면에 평행하지 않으며, 직선은 평면과 한 점에서 만난다.
교점을 직접 구해 위치관계를 확정하기
직선의 좌표를 평면식에 대입하면
x+2y-z=(1+2t)+2(2-t)-t=5-t
이다. 평면 위에서는 이 값이 5여야 하므로
5-t=5, 따라서 t=0이다.
그러므로 교점은 (1,2,0) 하나이고, 직선 l은 평면 α와 한 점에서 만난다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 방향벡터와 법선벡터의 내적을 확인하고, 내적이 0인지 여부와 직선 위 점의 평면 대입값을 분리해서 점검했다.
- 내적이 0이면 직선은 평면에 평행하거나 직선 전체가 평면에 포함된다.
- 내적이 0이 아니면 직선과 평면은 한 점에서 만난다.
- 이번에는 -1≠0이므로 평행이라는 결론을 유지할 수 없다.
마지막으로 t=0을 원래 직선과 평면에 다시 대입하여 교점 (1,2,0)이 실제 조건을 만족하는지 검산했다.
교점 조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 직선을
m: (x,y,z)=(2,-1,3)+s(1,2,2)
로 바꾸고, 평면을
β: 2x-y+z=8
로 정했다. 이때 법선벡터는 (2,-1,1)이고
(1,2,2)·(2,-1,1)=2-2+2=2≠0
이다. 따라서 한 점에서 만난다. 실제로 직선 좌표를 대입하면
2(2+s)-(-1+2s)+(3+2s)=8+2s
이므로 평면 조건은 8+2s=8, 즉 s=0이다. 교점은 (2,-1,3)이며, 이번에도 방향 관계와 대입 결과가 일치한다.