삼숭동고1수학과외: 대응표에서 함수 여부를 먼저 판별하는 법
양주고등학교에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리하는 주간에는 대응표를 보고 곧바로 식을 세우는 학생이 많다. 하지만 함수 단원에서는 계산보다 먼저 각 입력값에 연결된 출력값의 개수를 확인해야 한다. 삼숭동에서 고1 수학을 공부할 때도 학교별 내신 일정에 맞춰 이 판단을 풀이의 첫 줄에 남기는 연습이 필요하다.
같은 입력값에 두 출력값이 연결된 표
다음 대응표를 보자.
x: 1, 2, 2, 3
y: 4, 5, 7, 9
x=2에 y=5와 y=7이 각각 연결되어 있다. 하나의 x값에 두 개의 y값이 대응하므로 이 대응은 함수가 아니다. 함수에서는 정의역의 각 원소에 공역의 원소가 정확히 하나씩 대응해야 한다.
같은 x에 두 y가 연결되는 경우 함수가 아님을 확인한다.
학생의 답안에는 이 판단이 적혀 있지 않고, 표의 숫자를 이용해 증가량을 계산한 뒤 식을 만들려는 흔적만 남아 있었다. 질문을 받으면 “x=2에서 y가 두 개라 함수가 아니에요”라고 답했지만, 혼자 풀 때는 그 질문을 스스로 만들지 않은 상태였다.
식 세우기 전에 남겨야 할 한 줄
이 유형에서는 표를 본 직후 다음과 같이 기록한다.
- x=1, 3은 각각 y 하나와 연결된다.
- x=2는 y=5, 7 두 값과 연결된다.
- 따라서 이 대응은 함수가 아니다.
이후의 비례 관계나 그래프 판단은 함수 여부와 별도로 진행할 수 있지만, 함수인지 묻는 문제라면 여기서 결론이 끝난다. x값이 중복되었다는 사실 자체가 문제가 아니라, 같은 x에 서로 다른 y가 연결된 것이 문제다. 예를 들어 x=2가 두 번 나타나도 두 표에서 모두 y=6이라면 같은 출력 하나에 대응하므로 함수가 될 수 있다.
틀린 줄을 고친 뒤에도 판단을 다시 적기
풀이를 수정할 때 학생은 x=2에 연결된 두 y를 발견하고 “함수 아님”이라고 고쳤지만, 그 근거를 별도로 남기지 않았다. 이를 다음처럼 고정한다.
풀이 전: 같은 x에 두 y가 연결되는지 확인한다.
풀이 후: x=2에 y=5와 y=7이 연결되므로 함수가 아님을 확인한다.
두 번째 기록은 단순한 반복이 아니다. 처음에는 표의 구조를 확인하고, 마지막에는 자신의 결론이 실제 연결 관계에 근거했는지 되짚는다. 양주시 내 참고 학교인 옥빛고등학교, 덕현고등학교, 덕계고등학교, 덕정고등학교의 문제를 임의의 동일한 출제 경향으로 묶을 수는 없으므로, 학교 프린트의 표와 표현을 그대로 사용해 이 판단을 적용하는 편이 안전하다.
함수 판별 뒤 비례 관계를 구별하기
함수인 대응표라면 그다음에 변화 관계를 읽는다.
x가 1, 2, 4이고 y가 12, 6, 3이면 각 곱이
1×12=12, 2×6=12, 4×3=12
로 일정하므로 y=12/x인 반비례 관계다. 반대로 x가 2, 5, 8이고 y가 6, 15, 24이면 y/x가 모두 3이므로 y=3x인 정비례 관계다. 같은 x에 두 y가 있는지 먼저 확인한 뒤, 함수로 볼 수 있는 표에서 비율 또는 곱을 비교해야 한다.
괄호가 달라진 식을 보고 독립적으로 판단하기
답지를 보기 전에 다음 두 식을 표의 변화와 연결해 판단하게 한다.
㉠ y=4(x+1)
㉡ y=4x+1
㉠은 x=0일 때 y=4이고, y절편이 4인 일차함수이며 원점을 지나지 않는다. ㉡은 x=0일 때 y=1이므로 역시 원점을 지나지 않는다. 따라서 두 식 모두 정비례식은 아니다. 정비례라면 반드시 y=ax 꼴이어야 하며, 상수항이 없어야 한다.
반면 표에서 x가 1, 3, 6으로 변할 때 y가 12, 4, 2로 변한다면 곱 xy가 12로 일정하므로 반비례 관계로 판단한다. 학생이 괄호를 전개해 계산하는 데만 머무르지 않고, 표의 변화와 식의 형태를 함께 비교하는지 확인한다.
혼자 하는 마지막 점검
새 대응표에서 x=3에 y=8과 y=10이 연결되어 있다면 먼저 “함수가 아니다”라고 판단해야 한다. 그 뒤 함수인 별도 표에서 y/x가 일정한지, xy가 일정한지를 비교해 정비례와 반비례를 구분한다. 이때 풀이 전 한 줄과 풀이 후 한 줄을 모두 스스로 남겼다면, 질문을 기다리지 않고 함수 여부와 변화 관계를 순서대로 적용한 것으로 본다.