만송동고2수학과외, 채운 점과 극한값을 분리해 읽는 연습
방과 후 이동 시간을 제외하면 확보되는 자습 시간이 짧을수록, 극한 문제는 계산보다 그래프와 조건을 먼저 읽어야 한다. 만송동에는 덕현고등학교가 있고, 같은 양주시의 옥빛고등학교·덕계고등학교·덕정고등학교·양주백석고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 자료를 섞기보다, 짧은 풀이 안에서 함숫값과 극한값을 분리하는 판단을 확인하는 것이 우선이다.
채운 점 하나로 극한값을 정한 풀이
오답표에는 다음 함수가 적혀 있었다.
\[ f(x)= \begin{cases} x+2 & (x\ne1)\\ 5 & (x=1) \end{cases} \]
학생은 그래프에서 \(x=1\)일 때 채워진 점의 높이가 5라는 사실을 보고 \[ f(1)=5\quad\text{이므로}\quad \lim_{x\to1}f(x)=5 \] 라고 결론냈다.
하지만 \(x\)가 1이 아닌 곳에서는 \(f(x)=x+2\)이므로 왼쪽과 오른쪽에서 1에 가까이 갈 때 모두 \[ \lim_{x\to1^-}f(x)=3,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=3 \] 이다. 따라서 양쪽 극한이 같아 극한값은 \[ \lim_{x\to1}f(x)=3 \] 이고, 실제 함숫값은 \(f(1)=5\)이다. 극한은 \(x=1\)에서의 값을 읽는 것이 아니라, \(x\)가 1에 가까워질 때 주변 함수값이 어디에 가까워지는지를 판단하는 값이다.
좌우에서 가까워지는 값을 먼저 확인하기
이 유형에서는 풀이를 길게 늘리기보다 답안에 조건 확인 한 줄을 남긴다.
- \(x=1\)에서의 값: \(f(1)=5\)
- 왼쪽 접근: \(\lim_{x\to1^-}f(x)=3\)
- 오른쪽 접근: \(\lim_{x\to1^+}f(x)=3\)
- 좌극한과 우극한이 같으므로 \(\lim_{x\to1}f(x)=3\)
오류를 고칠 때 여러 항목을 한꺼번에 다시 보게 하지 않고, 이 문제에서는 ‘조건’만 표시한다. 식 옆에 함숫값은 채운 점, 극한값은 양쪽에서 다가가는 값이라고 적은 뒤, \(f(1)\)과 \(\lim_{x\to1}f(x)\)를 서로 다른 줄에 계산한다. 이렇게 해야 채운 점의 높이와 주변 그래프의 높이를 혼동했는지 답안에서 확인할 수 있다.
값이 달라도 극한은 존재하는지 확인하는 짧은 검증
다음 함수의 \(x=2\)에서 함숫값과 극한값을 각각 구한다.
\[ g(x)= \begin{cases} 2x-1 & (x\ne2)\\ 7 & (x=2) \end{cases} \]
학생이 먼저 써야 할 것은 \(g(2)=7\)이며, 극한은 \(x\ne2\)인 식으로 판단한다.
\[
\lim_{x\to2^-}g(x)=3,\qquad
\lim_{x\to2^+}g(x)=3
\]
\[
\therefore\ \lim_{x\to2}g(x)=3,\qquad g(2)=7
\]
계산량이 거의 없는 문제에서도 접근 방향과 두 값을 구분했다면, 새로운 수와 다른 채운 점 위치에서도 같은 판단을 유지한 것이다. 반대로 \(g(2)=7\)만 보고 극한을 7이라고 쓰면 조건 확인이 다시 생략된 것으로 본다.