만송동 고3수학과외: 두 평면의 위치를 식으로 판별하는 연습
만송동에서 덕현고등학교 통학과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습 시간에, 한 학생은 공간도형 문제의 그림을 보자마자 교선의 방정식을 구하려 했다. 그러나 변형문제에서는 먼저 두 평면의 법선벡터 관계와 상수항을 확인해야 한다는 점이 충분히 정리되지 않았다.
교선을 구하기 전 확인할 것
두 평면
Π₁: 2x-y+z=1, Π₂: 4x-2y+2z=3
의 법선벡터는 각각 n₁=(2,-1,1), n₂=(4,-2,2)=2n₁이다. 따라서 두 평면의 법선벡터가 평행하므로 두 평면은 서로 평행하거나 일치할 가능성만 있다.
Π₁의 식에 2를 곱하면 4x-2y+2z=2가 되지만 Π₂의 우변은 3이다. 좌변의 비는 같고 상수항의 비는 다르므로 두 평면은 일치하지 않는다. 따라서 이 경우는 서로 평행한 두 평면이다.
법선벡터가 평행하고 상수항까지 같은 비로 변하면 일치하고, 법선벡터만 같은 비이며 상수항의 비가 다르면 평행이다. 법선벡터가 평행하지 않으면 두 평면은 한 직선에서 만난다.
실제 오답과 수정 과정
학생은 다음과 같이 적었다.
오답: 2(2x-y+z)=4x-2y+2z이므로 두 평면이 같은 방향이다. 따라서 교선은 없고, 평행인지 일치하는지는 구분하지 않는다.
이 답은 결론의 일부만 맞고 판별 과정이 불완전하다. 교선이 없다는 사실만으로는 평행과 일치를 구분할 수 없다. 실제로 4x-2y+2z=2라면 첫 번째 평면과 같은 평면이므로 공통점이 무한히 많다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 법선벡터의 배수 관계와 우변의 비를 따로 확인했다.
- n₂=2n₁인지 확인한다.
- 첫 번째 식에 2를 곱해 4x-2y+2z=2를 만든다.
- 실제 두 번째 식의 우변 3과 비교해 일치 여부를 판단한다.
- 수정한 결론을 원래 식에 대입해 공통점이 없는지 확인한다.
예를 들어 Π₁에서 (x,y,z)=(0,0,1)을 택하면 Π₁은 만족하지만 Π₂의 좌변은 2로서 3이 아니다. 두 평면이 일치하지 않음을 대입으로 다시 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 두 평면으로 같은 판단을 적용했다.
Σ₁: x+2y-z=4, Σ₂: 2x+4y-2z=8
두 번째 식은 첫 번째 식 전체에 2를 곱한 것이므로 법선벡터와 상수항이 모두 같은 비로 변한다. 따라서 두 평면은 평행이 아니라 일치한다.
반대로 Σ₃: 2x+4y-2z=5라면 법선벡터는 여전히 2배이지만 상수항은 8이 되지 않으므로 Σ₁과 Σ₃은 서로 평행하다. 학생은 이처럼 그림을 먼저 추측하지 않고, 법선벡터와 상수항의 관계를 확인한 뒤 위치관계를 확정하는 방식으로 변형문제에 적용했다.