만송동고1수학과외 함수식에 주어진 값을 대입해 함숫값 구하기
덕현고등학교 학생의 학교 프린트 풀이에서 “함수식에 주어진 x를 대입해 함숫값 정확히 계산하기”라는 표시가 빠진 채 계산이 이어지는 장면이 확인되었다. 만송동에서 통학과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 공식을 많이 적기보다, 주어진 값을 함수식에 넣는 한 줄을 정확히 남기는 연습이 필요하다.
공식을 먼저 꺼내 적으면서 생긴 계산의 빈틈
예를 들어 함수 f(x)=2x2-3x+1에서 f(-2)를 구한다고 하자. 학생은 문제를 읽자마자 최근에 연습한 이차식 공식을 적은 뒤 다음처럼 계산했다.
f(-2)=2×22-3×2+1=8-6+1=3
이 식은 학생이 작성한 오답이다. 주어진 값이 -2인데 대입 과정에서 음수 부호가 사라졌다. 정확한 계산은 다음과 같다.
f(-2)=2(-2)2-3(-2)+1=2×4+6+1=15
첫 번째 항에서는 (-2)2=4가 되고, 두 번째 항에서는 -3×(-2)=+6이 된다. 따라서 음수를 대입할 때는 괄호를 사용해야 식의 부호 관계가 보인다.
계산 전에 함수식과 입력값을 한 줄로 연결하기
이 학생의 현재 상태는 함수의 뜻을 전혀 모르는 것이 아니라, x에 특정 값을 넣는 절차가 풀이에 고정되지 않은 상태에 가깝다. 답안에 별도 확인 흔적이 없고 바로 다음 계산으로 넘어가므로, 오답표에는 계산 결과만 남고 오류가 생긴 위치는 드러나지 않았다.
수정할 때는 문제의 입력값 옆에 작은 표시를 남긴다.
- 함수식: f(x)=2x2-3x+1
- 대입할 값: x=-2
- 대입한 식: f(-2)=2(-2)2-3(-2)+1
그 다음에만 거듭제곱과 곱셈을 계산한다. 이 순서를 지키면 원래 문자의 위치와 대입된 수의 부호가 달라졌는지 직접 확인할 수 있다.
오답표에는 결과가 아니라 빠진 줄을 남긴다
오답을 고칠 때 학생이 틀린 답 3만 15로 바꾸는 것으로 끝내지 않는다. ‘함수식에 주어진 x를 대입해 함숫값 정확히 계산하기’ 단계가 빠진 줄에 표시하고, 그 줄부터 다시 작성한다. 특히 -3(-2)를 +6으로 바꾸는 과정을 생략하지 않는다.
이렇게 하면 다음에 f(3)을 계산할 때도 f(3)=2(3)2-3(3)+1=18-9+1=10처럼 대입식과 계산식을 구분할 수 있다. 값이 양수일 때와 음수일 때 부호 처리가 어떻게 달라지는지도 한눈에 비교된다.
문장제에서는 식만 쓰지 않고 조건과 결론을 연결한다
수행평가와 지필평가에서 같은 함수 개념이 문장 형태로 제시될 수 있다. 예를 들어 어떤 날의 누적 이동 거리를 시간 t에 대한 함수 d(t)=3t2+2t로 나타내고, t=4일 때의 거리를 구하라는 조건이 있다고 하자.
답안에는 다음처럼 남긴다.
조건: d(t)=3t2+2t, t=4
대입: d(4)=3×42+2×4=48+8=56
결론: t=4일 때 누적 이동 거리는 56이다.
여기서 식만 d(4)=56이라고 적으면 계산 결과는 남지만, 어떤 조건을 사용했는지와 무엇을 구했는지가 빠진다. 조건과 결론까지 기록하는 습관이 서술형 판단의 근거가 된다.
새 조건을 넣은 문제로 스스로 대입 과정을 확인하기
훈련 뒤에는 숫자만 바꾸는 대신 조건을 하나 추가한 문제를 제시한다. 함수 g(x)=x2-4x+7이 있고, x=5일 때 함수값과 함수값이 0보다 큰지를 함께 설명하라고 하자.
조건: g(x)=x2-4x+7, x=5
계산: g(5)=52-4×5+7=25-20+7=12
결론: g(5)=12이고 12>0이므로 함수값은 0보다 크다.
이때 확인할 것은 정답 12만이 아니다. 학생이 주어진 x=5를 식의 각 x 자리에 대입했는지, 대입식과 계산식을 구분했는지, 추가 조건인 ‘0보다 큰지’에 대한 결론까지 적었는지를 함께 본다. 이 세 흔적이 남아 있을 때 함수식 대입이 새로운 문장제에서도 실제로 적용된 것으로 판단한다.