덕정동고2수학과외, 좌극한과 우극한을 계산 줄에서 분리해 읽는 연습
덕정동주공단지에서 통학하며 학교 프린트와 시험 범위를 짧은 시간에 정리해야 할 때, 극한 문제는 답만 고치는 방식으로는 오류가 반복되기 쉽습니다. 덕정동 주소의 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 덕정고등학교·옥빛고등학교·덕현고등학교·덕계고등학교 등 양주시 통학권의 고2 수학 학습 상황을 참고해 풀이 과정을 점검합니다.
계산 흔적은 2와 3인데 왜 극한을 2라고 적었을까
다음 함수의 \(x=1\)에서의 극한을 구한다고 하겠습니다.
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & (x<1)\\ x+2 & (x\ge 1) \end{cases} \]
왼쪽에서 \(x\)가 1에 가까워지면 \(x+1\)을 사용하므로
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1+1=2 \]
입니다. 오른쪽에서는 \(x+2\)를 사용하므로
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1+2=3 \]
입니다. 풀이 흔적에 이 두 값이 정확히 남아 있는데도 전체 극한을 \(2\)라고 적었다면, 계산을 틀린 것이 아니라 좌극한 하나를 전체 극한으로 바꿔 적은 단계에서 오류가 생긴 것입니다.
좌우 값이 다르면 전체 극한은 존재하지 않는다
양쪽 극한이 모두 존재하더라도 값이 같아야 전체 극한이 존재합니다.
\[ \lim_{x\to1}f(x)\text{가 존재하려면 } \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x) \]
이어야 합니다. 이 문제에서는 \(2\ne3\)이므로
\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)\text{는 존재하지 않는다}} \]
가 정확한 결론입니다. \(f(1)=3\)이라는 함숫값은 오른쪽 식으로 정해지지만, 함숫값이 존재한다고 해서 양쪽 극한이 같아지는 것은 아닙니다.
정답을 바로 지우지 말고 오류 칸을 먼저 표시하기
풀이를 다음 세 칸으로 나누어 확인합니다.
- 조건: \(x\to1^-\)에서는 \(x+1\), \(x\to1^+\)에서는 \(x+2\)
- 계산: 좌극한 \(2\), 우극한 \(3\)
- 검산: 좌극한과 우극한이 다르므로 전체 극한은 존재하지 않음
만약 조건과 계산은 맞고 마지막에 \(\lim_{x\to1}f(x)=2\)라고 썼다면 검산 칸에 오류 표시를 합니다. 반대로 좌우 식을 잘못 선택했다면 조건 칸만 다시 씁니다. 이렇게 오류가 발생한 칸만 고치면 계산 전체를 처음부터 반복하지 않고도 판단의 끊긴 지점을 확인할 수 있습니다.
불필요한 정보가 섞인 문제에서 좌우 조건만 골라내기
이번에는 다음 정보를 함께 제시한 문제를 살펴봅니다.
\[ g(x)= \begin{cases} 2x+1 & (x<2)\\ x+3 & (x>2) \end{cases}, \quad g(5)=10,\quad \lim_{x\to2^-}g(x)=? \]
질문이 좌극한이므로 \(x<2\)인 식만 사용합니다.
\[ \lim_{x\to2^-}g(x)=2\cdot2+1=5 \]
\(g(5)=10\)은 이 질문의 계산에 필요하지 않습니다. 오른쪽 식 \(x+3\)도 좌극한을 구할 때 사용할 대상이 아닙니다. 새로운 문제에서는 먼저 화살표 방향과 구간 조건을 표시한 뒤, 그 조건에 해당하는 식만 골라 계산하는지 확인합니다.
좌극한과 우극한을 각각 적고 마지막에 두 값을 비교하는 습관이 자리 잡으면, 한쪽 계산값을 전체 극한으로 잘못 옮기는 오답을 줄일 수 있습니다.