덕정동 고3수학과외: 한 점만 보고 판단한 위치관계 바로잡기
덕정동에서 덕정주공4단지·2단지·3단지 생활권을 오가며 양주시 내 덕정고등학교, 옥빛고등학교, 덕현고등학교 등의 통학권을 참고하는 고3 학생은 이동 뒤에도 과제와 시험 준비를 이어 가야 했다. 그래서 풀이를 다시 길게 쓰기보다, 처음 조건을 잘못 읽은 줄을 찾아 수정하는 연습부터 진행했다.
한 점이 평면 위에 있다고 직선과 평면의 관계가 정해지지는 않는다
학생이 다음 문제를 풀었다.
직선 \(l:(x,y,z)=(1,2,0)+t(1,-1,2)\)와 평면 \(\pi:x+y+z=3\)의 위치관계를 구하고, 교점을 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: 직선 위의 점 \(P=(1,2,0)\)을 평면식에 대입하면 \(1+2+0=3\)이므로 \(P\)가 평면 위에 있다. 따라서 직선 \(l\)은 평면 \(\pi\)와 평행하다.
이 판단은 틀렸다. 한 점 \(P\)가 평면 위에 있다는 사실만으로 직선 전체가 평면과 평행하다고 결론 내릴 수 없다. 직선과 평면의 방향 관계를 확인하려면 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터를 비교해야 한다.
직선의 방향벡터는 \(\vec v=(1,-1,2)\), 평면의 법선벡터는 \(\vec n=(1,1,1)\)이다. 두 벡터의 내적은
\[ \vec v\cdot\vec n=1-1+2=2\ne0 \]
이므로 직선은 평면과 평행하지 않다. 실제로 직선의 점을 평면식에 대입하면
\[ (1+t)+(2-t)+2t=3+2t \]
이고, 평면 위 조건 \(3+2t=3\)에서 \(t=0\)을 얻는다. 따라서 직선은 평면과 \(P=(1,2,0)\)에서 만난다.
첫 모순이 생긴 줄부터 고치는 검산 순서
- 학생은 ‘한 점이 평면 위에 있음’이라고 표시한 줄에 밑줄을 그었다.
- 그 다음 ‘직선 전체의 방향이 평면과 어떤 관계인가?’를 확인하기 위해 \(\vec v\cdot\vec n\)을 계산했다.
- 내적이 0이 아니므로 평행이라는 결론을 지우고, 직선의 매개변수를 평면식에 직접 대입했다.
- 수정한 교점 \(t=0\)을 다시 직선식과 평면식에 넣어 \(P=(1,2,0)\), \(1+2+0=3\)을 확인했다.
이때 네모칸에는 교점이면 매개변수의 해가 존재하고, 평행이면 방향벡터와 법선벡터의 내적이 0이라고 적었다. 답만 해설과 비교하지 않고, 처음 조건과 관계가 맞는지 역검산하는 방식이다.
평면을 바꾼 독립 검증
같은 직선을 그대로 두고 평면을 \(\pi':x+y+z=5\)로 바꾸었다. 이번에는 한 점만 보고 판단하지 않고 직선식을 대입했다.
\[ (1+t)+(2-t)+2t=3+2t=5 \]
따라서 \(t=1\)이고 교점은
\[ (2,1,2) \]
이다. 실제로 \(2+1+2=5\)이므로 평면 위에 있고, \(\vec v\cdot\vec n=2\ne0\)이므로 여전히 평행이 아닌 교차 관계다. 평면의 상수항을 바꾸자 교점의 매개변수만 \(0\)에서 \(1\)로 달라지는 것을 확인하면서, 한 점의 포함 여부와 직선·평면의 위치관계를 분리해 판단했다.