덕정동고1수학과외, 정의역과 치역을 가르는 함수값 판단
덕정동주공단지에서 귀가한 뒤 학교 프린트의 함수 문제를 짧게 풀 때, 식에 숫자를 넣는 계산보다 먼저 확인할 조건이 있다. 함수 \(f:A\to B\)에서 \(A\)는 정의역, \(B\)는 공역, 실제 함수값이 모인 집합은 치역이다. 세 집합을 같은 의미로 읽으면 계산 결과가 나와도 답의 근거가 흔들린다.
공역에 있다고 모두 입력할 수 있는 것은 아니다
다음 함수가 주어졌다고 하자.
\(A=\{-2,0,3\}\), \(B=\{0,1,2,3,4,5\}\), \(f(x)=x+2\)
정의역의 원소를 대입하면 \(f(-2)=0\), \(f(0)=2\), \(f(3)=5\)이므로 치역은 \(\{0,2,5\}\)이다. 공역 \(B\)에는 1, 3, 4도 들어 있지만 실제 함수값으로 나온 적은 없다.
따라서 \(f(1)\)을 묻는다면 식만 보고 \(1+2=3\)이라고 계산할 수 없다. 1은 공역 \(B\)의 원소이지만 정의역 \(A\)의 원소가 아니기 때문이다. 이 함수에서 \(f(x)\)의 입력으로 허용되는 값은 오직 \(-2,0,3\)이다.
계산을 시작하기 전 학생의 표시
덕정동에서 양주시 내 학교로 통학하는 생활에서는 학교 과제와 시험 준비를 짧은 시간에 나누어 처리하게 된다. 실제 풀이에서 학생은 \(f(1)\)을 보고 바로 \(1+2=3\)을 적었고, 문제에 제시된 집합 \(A\)는 표시하지 않았다. 정답을 다시 적은 뒤에도 ‘정의역·공역·치역의 차이’를 말로 확인하지 않았다.
이 오류는 \(1\)이 공역에 포함된다는 사실과 정의역에 포함된다는 사실을 구별하지 않은 데서 생긴다. 계산 \(1+2=3\) 자체는 맞지만, 함수 \(f\)가 \(1\)에서 정의된다는 전제가 없으므로 \(f(1)=3\)이라는 결론은 이 문제의 함수에 대해 성립하지 않는다.
식 앞에 붙이는 한 줄의 근거
함수값을 계산할 때는 다음 순서를 답안에 남긴다.
- 입력값 \(a\)가 정의역 \(A\)에 속하는지 확인한다.
- \(a\in A\)일 때만 \(f(a)\)를 함수식으로 계산한다.
- 계산 결과가 실제로 모인 값인지 치역과 대조한다.
예를 들어 \(f(3)\)은 \(3\in A\)이므로 \(f(3)=3+2=5\)이다. 반면 \(1\notin A\)이므로 이 함수에서는 \(f(1)\)을 계산하지 않는다. 오답노트에는 긴 해설 대신 “대입 전 입력값이 정의역에 속하는지 확인”이라는 바뀐 행동 한 가지를 적는다.
서술형에서는 집합의 역할까지 분리해 쓰기
서술형 답안이라면 “정의역은 \(\{-2,0,3\}\), 공역은 \(\{0,1,2,3,4,5\}\), 치역은 \(\{0,2,5\}\)”처럼 각각의 역할을 구분한다. \(f(1)\)에 대해서는 “\(1\notin A\)이므로 \(f(1)\)은 정의되지 않는다”라고 식과 근거와 결론을 연결해야 한다.
이렇게 쓰면 공역의 원소가 모두 치역에 들어가야 한다고 잘못 판단하지 않으며, 식의 계산 결과만으로 함수값을 주장하는 실수도 줄어든다.
부호를 바꾼 새 조건에서 확인하기
훈련 뒤에는 같은 숫자를 반복하지 않고 다음 문제를 제시한다.
\(C=\{-3,-1,2\}\), \(D=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\), \(g(x)=x-1\)
학생이 \(g(-3)\)을 계산하기 전에 \(-3\in C\)임을 확인하면 \(g(-3)=-3-1=-4\)라고 얻는다. 그러나 \(-4\notin D\)이므로 이 식과 집합의 관계를 다시 점검해야 한다. 따라서 주어진 \(g:C\to D\)는 함수로 성립하지 않는다. 공역의 원소가 아닌 값이 나오므로 단순 계산을 정답으로 처리할 수 없다.
이때 확인할 내용은 세 가지다. 입력값이 정의역에 있는지, 계산 결과가 공역에 있는지, 실제 결과들을 모은 치역이 무엇인지다. 특히 \(-3-1\)에서 부호를 바꾸어 \(-3+1=-2\)로 쓰지 않는지도 살핀다. 부호 계산이 흔들리면 해당 계산에 필요한 초등 수준의 음수 덧셈만 짧게 복구한 뒤, 현재 함수 문제의 풀이를 처음부터 혼자 이어 간다.