덕계동고2수학과외, 수학적 귀납법에서 k+1 연결을 완성하는 연습
수열 공식 증명에서 몇 개 항을 대입해 식이 맞는지 확인하는 것과 수학적 귀납법을 완료하는 것은 다르다. 덕계역이나 현대윤중아파트 주변에서 학교까지 이동하는 시간이 학생마다 다르더라도, 풀이에서 반드시 남겨야 할 논리적 연결은 같다. 특히 공식 증명에서는 k번째 식을 가정한 뒤 k+1번째 식으로 넘어가는 과정이 핵심이다.
몇 항이 맞아도 귀납증명이 끝나지 않는 이유
다음 수열의 합을 생각해 보자.
S_n=1+4+7+...+(3n-2)
증명하려는 공식은
S_n= n(3n-1)/2
이다. n=1, 2, 3을 대입해 공식이 맞는지 확인할 수는 있지만, 이것은 일부 항에 대한 검산일 뿐 모든 자연수 n에 대한 증명이 아니다.
풀이 과정에서 S_k=k(3k-1)/2까지 적은 뒤, 다음 줄에서 갑자기 결론만 쓰면 k와 k+1의 연결이 사라진다. 귀납법에서는 반드시 다음 항을 추가해야 한다.
빠진 연결을 시작된 지점에서 이어 쓰기
기초 단계는 n=1일 때이다.
S_1=1, 1(3×1-1)/2=1
이제 어떤 자연수 k에 대하여
S_k=1+4+...+(3k-2)=k(3k-1)/2
라고 가정한다. 여기서 바로 공식의 오른쪽에 k+1을 대입하는 것이 아니라, S_{k+1}이 무엇인지 먼저 적는다.
S_{k+1}=S_k+[3(k+1)-2]
가정한 식을 대입하면
S_{k+1}=k(3k-1)/2+3k+1
이다. 통분하여 정리하면
S_{k+1}=[k(3k-1)+2(3k+1)]/2
=(3k²-k+6k+2)/2
=(3k²+5k+2)/2
한편 목표 공식의 n에 k+1을 넣은 값은
(k+1){3(k+1)-1}/2=(k+1)(3k+2)/2=(3k²+5k+2)/2
이다. 따라서 S_{k+1}=(k+1){3(k+1)-1}/2가 성립한다. 기초 단계와 이 연결이 모두 있으므로 공식은 모든 자연수 n에 대해 성립한다.
계산 여백이 아니라 k+1 줄을 표시하는 훈련
풀이를 처음부터 다시 베껴 쓰기보다, k번째 가정 다음에서 멈춘 지점부터 이어 간다. 답안에는 다음 세 줄을 반드시 남긴다.
S_{k+1}=S_k+[3(k+1)-2]=k(3k-1)/2+3k+1=(k+1){3(k+1)-1}/2
이후에는 n=2, 3, 4를 대입하는 대신, 마지막 줄이 목표식의 n=k+1 형태와 같은지 확인한다. 몇 개 항의 계산은 보조 검산일 뿐 귀납 단계의 근거가 될 수 없다.
계수와 부호가 바뀐 식에서 확인하기
다음 문제는 앞의 식을 나란히 참고하지 않고 풀어 본다.
4-7+10-...+(3n+1)(-1)^{n+1}처럼 부호가 번갈아 바뀌는 식은 별도의 판단이 필요하므로, 여기서는 계수와 상수항이 바뀐 다음 수열을 검증한다.
T_n=(1)+(5)+(9)+...+(4n-3)
주장하는 공식은 T_n=2n²-n이다. 기초 단계에서 T_1=1=2×1²-1을 확인한 뒤, 귀납 가정 T_k=2k²-k에서 출발한다.
T_{k+1}=T_k+[4(k+1)-3]
=(2k²-k)+(4k+1)
=2k²+3k+1
그리고 목표식에 k+1을 넣으면
2(k+1)²-(k+1)=2k²+3k+1
이므로 두 식이 일치한다. 이 문제에서도 k+1번째 항을 추가한 뒤 목표식의 k+1 형태와 비교했는지가 판단 기준이다.
새 식에서 학생이 처음으로 적을 줄이 T_{k+1}=T_k+[4(k+1)-3]로 바로 이어진다면, 단순 대입이 아니라 귀납 단계의 구조를 적용한 것으로 볼 수 있다.