덕계동고1수학과외, 표현이 바뀐 명제에서 대우와 조건관계 구성하기
덕계고등학교 프린트의 명제 문제를 풀 때 정답을 맞힌 뒤 곧바로 다음 계산으로 넘어가는 학생이 있다. 그러나 명제는 문장의 모양이 달라지면 원명제와 대우를 다시 구성해야 하므로, 답만 맞힌 것보다 근거를 남기는 과정이 중요하다.
“a이면 b이다”를 다른 말로 바꾸는 순간
원명제를 다음과 같이 두자.
p: 정수 n이 6의 배수이다.
q: 정수 n이 3의 배수이다.
원명제는 p이면 q이다, 즉 “n이 6의 배수이면 n은 3의 배수이다”이다. 이 명제는 참이다. 대우는 조건과 결론을 각각 부정하여 q가 아니면 p가 아니다가 되므로 “n이 3의 배수가 아니면 n은 6의 배수가 아니다”이다. 원명제와 대우는 항상 참·거짓이 같지만, 역과 이의 관계까지 같은 것은 아니다.
- 원명제: n이 6의 배수이면 n은 3의 배수이다.
- 역: n이 3의 배수이면 n은 6의 배수이다.
- 이: n이 6의 배수가 아니면 n은 3의 배수가 아니다.
- 대우: n이 3의 배수가 아니면 n은 6의 배수가 아니다.
예를 들어 n=9이면 역명제는 거짓이다. 9는 3의 배수이지만 6의 배수는 아니기 때문이다. 따라서 원명제를 맞혔다는 이유만으로 표현이 바뀐 문장도 같은 방식으로 판단해서는 안 된다.
답안에서 사라진 한 줄
관찰한 답안에는 명제의 참·거짓만 적고, “원명제의 대우는 조건과 결론을 바꾸어 각각 부정한다”라는 근거가 없었다. 표현이 달라진 문제에서도 원명제, 역, 이, 대우를 다시 세우는 순서를 정하지 못한 채 바로 다음 계산으로 넘어간 것이다.
수정할 때는 먼저 문장을 기호로 옮긴다. “어떤 정수 n이 4의 배수이면 n²이 16의 배수이다”에서 p를 “n이 4의 배수”, q를 “n²이 16의 배수”로 정한다. 그러면 대우는 “n²이 16의 배수가 아니면 n이 4의 배수가 아니다”이다. 이때 원명제와 대우의 참·거짓을 비교하고, 역은 “n²이 16의 배수이면 n이 4의 배수이다”로 별도로 적어야 한다.
계산 전에 말로 관계를 재구성하기
훈련에서는 정답 계산을 시작하기 전에 학생이 다음 관계를 말하게 한다.
“원명제의 조건은 n이 4의 배수이고 결론은 n²이 16의 배수이다. 대우는 결론을 부정한 뒤 조건을 부정하므로, n²이 16의 배수가 아니면 n이 4의 배수가 아니다. 역과 이는 원명제와 대우를 이루지 않는다.”
그 다음에 n=5를 대입하면 n²=25이므로 q는 거짓이고, n이 4의 배수라는 p도 거짓이다. 대우의 “q가 아니면 p가 아니다”가 이 값에서 거짓이 되지 않는다는 점도 확인할 수 있다. 명제 전체의 참·거짓을 판단할 때는 조건이 거짓인 경우까지 임의로 결론을 끌어내리지 않도록 문장 구조를 함께 적는다.
덕계동 생활 리듬에 맞춘 짧은 확인
덕계역이나 현대윤중아파트 인근에서 귀가 후 학습 시간이 짧은 경우에는 학교 프린트의 명제 한 문제를 길게 반복하기보다, 표현을 바꾼 문장을 기호로 옮기는 답안 흔적을 남기는 방식이 적절하다. 덕계동 안에서도 학교와 주거지의 이동 시간이 다르므로, 긴 복습보다 “원명제-대우-역-이”를 실제 문장으로 한 번 재구성했는지를 확인한다. 옥빛고등학교나 덕현고등학교 등 양주시 내 참고 학교를 덕계동 소재 학교로 혼동하지 않고, 여기서는 덕계고등학교 학습 상황에 맞춘다.
새 문장과 표에서 순서가 유지되는지 확인
마지막에는 다음 명제를 제시한다.
“어떤 도형이 정사각형이면 그 도형은 직사각형이다.”
학생이 먼저 p를 “정사각형이다”, q를 “직사각형이다”로 정한 뒤, 대우를 “직사각형이 아니면 정사각형이 아니다”로 바꾸는지 본다. 이어 역인 “직사각형이면 정사각형이다”와 구별하면 된다. 정사각형은 직사각형의 조건을 만족하지만, 모든 직사각형이 정사각형은 아니므로 역은 거짓이다.
중2 선행 맛보기에서 표나 그래프가 함께 제시될 때에는 답을 먼저 말하지 않고 제목과 단위를 읽게 한다. 예를 들어 전체 40명 중 남학생 18명을 나타낸 표라면 전체와 부분의 관계를 먼저 말하게 한 뒤, 새 숫자 50명 중 21명이 제시되어도 같은 해석 순서를 유지하는지 기록한다. 명제 문제에서도 마찬가지로 표현이 달라졌을 때 원명제와 대우, 조건관계를 스스로 다시 구성한 흔적이 남아야 한다.