덕계동 고3수학과외: 도형이 바뀌어도 벡터 관계를 다시 읽는 연습
덕계동에서는 덕계고등학교를 중심으로 공부하는 학생도 있고, 덕계역이나 현대윤중아파트 인근에서 통학하는 학생도 있어 하루의 자습 시간이 서로 다를 수 있습니다. 같은 양주시의 옥빛고등학교·덕현고등학교·덕정고등학교·양주백석고등학교는 참고 학교이며 덕계동 소재 학교와는 구분해 보았습니다. 이 학생은 이동 후 짧은 시간에 문제를 풀면서 앞 문제의 방향벡터를 다음 문제에 복사하는 습관이 있었습니다.
틀린 줄에서 시작한 벡터 점검
문제는 점 \(A(2,-1)\), \(B(6,2)\), \(C(1,4)\)가 있을 때, 직선 \(AB\)와 평행하고 \(C\)를 지나는 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 구하는 것이었다.
학생은 직전 문제에서 사용한 방향벡터 \((3,-2)\)를 그대로 가져와 다음과 같이 적었다.
오답: 직선의 방정식은 \((x,y)=(1,4)+t(3,-2)\)이다.
이 식은 현재 직선 \(AB\)의 방향을 반영하지 않아 틀렸다. 두 점의 위치가 바뀌면 방향벡터도 새로 계산해야 한다. 실제 방향벡터는
\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(6-2,\;2-(-1))=(4,3) \]
이므로 \(C\)를 지나는 평행선은
\[ (x,y)=(1,4)+t(4,3) \]
이다. \(x\)축 위에서는 \(y=0\)이므로
\[ 4+3t=0,\quad t=-\frac43 \]
이고,
\[ x=1+4\left(-\frac43\right)=-\frac{13}{3} \]
따라서 교점은 \(\left(-\frac{13}{3},0\right)\)이다. 학생은 틀린 줄 왼쪽에 ‘이전 방향 복사’라고 문자로 표시한 뒤, \(B-A\)를 다시 계산하고 \(t=-\frac43\)을 원래 식에 대입하여 \(y=0\)이 되는지 확인했다. 이어서 \(x=1+4t\)를 역계산해 \(t=-\frac43\)을 복원하면서 출발점과 결과가 연결되는지도 확인했다.
숫자가 달라진 독립 검증
다음에는 점 \(O(0,0)\), \(U(5,2)\), \(V(1,-3)\)로 조건을 바꾸었다. 먼저 두 벡터의 내적을 계산하면
\[ \overrightarrow{OU}\cdot\overrightarrow{OV} =(5,2)\cdot(1,-3)=5-6=-1 \]
내적이 음수이므로 \(\angle UOV\)는 둔각이다. 학생은 이전 문제의 방향을 복사하지 않고, \(V\)를 지나 \(OU\)와 평행한 직선을 직접
\[ (x,y)=(1,-3)+s(5,2) \]
로 세웠다. 이 직선이 \(x\)축과 만나는 경우에는
\[ -3+2s=0,\quad s=\frac32 \]
이므로 교점의 \(x\)좌표는
\[ 1+5\left(\frac32\right)=\frac{17}{2} \]
이다. 마지막으로 \(y=-3+2\cdot\frac32=0\)을 대입 검산하여, 예각 조건에서 둔각 조건으로 바뀐 문제에서도 방향벡터와 내적의 부호를 새로 판단했는지 확인했다.