광사동고2수학과외 학습에서는 통학과 방과 후 이동 뒤 남은 자습시간을 짧게 쓰더라도, 극한 문제의 식보다 먼저 접근 방향을 기록하는 습관이 필요하다. 특히 함수의 극한은 왼쪽에서 갈 때와 오른쪽에서 갈 때의 값이 같은지에 따라 전체 극한의 성립 여부가 달라진다.
왼쪽 값 2와 오른쪽 값 3을 하나의 극한값으로 합칠 수 없는 이유
다음 함수의 \(x=1\)에서의 극한을 살펴보자.
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & (x<1)\\ x+2 & (x>1) \end{cases} \]
왼쪽에서 \(x\)가 1에 가까워지면
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1+1=2 \]
오른쪽에서 \(x\)가 1에 가까워지면
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1+2=3 \]
따라서 두 방향의 접근 결과가 다르므로 전체 극한은 존재하지 않는다.
\[ \lim_{x\to1}f(x)\text{는 존재하지 않음} \]
답안 여백에 접근 방향을 적지 않은 경우, 왼쪽 계산에서 얻은 2를 전체 극한값으로 옮겨 적는 일이 생긴다. 그러나 \(x\to1\)은 한쪽 방향만 뜻하지 않는다. 전체 극한을 쓰려면 반드시
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x) \]
인지 확인해야 한다.
식 옆에 화살표를 먼저 남기는 짧은 훈련
비슷한 미니문제에서는 계산 전에 여백에 다음처럼 두 줄을 만든다.
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=\quad,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=\quad \]
예를 들어
\[ f(x)= \begin{cases} 3x-2 & (x<2)\\ x+3 & (x>2) \end{cases} \]
이라면 왼쪽은 \(3\cdot2-2=4\), 오른쪽은 \(2+3=5\)이다. 두 값을 분리해 적으면
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=4,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=5 \]
가 되고, 전체 극한은 존재하지 않는다고 판단할 수 있다. 핵심 행동은 계산 능력이 아니라 \(x\to2^-\), \(x\to2^+\)를 각각 표시한 뒤 두 결과를 비교하는 것이다.
새 조건에서도 방향 표시가 남는지 확인하는 문제
다음 문제는 앞의 식을 나란히 제공하지 않고 별도로 확인한다.
\[ g(x)= \begin{cases} 5-x & (x<3)\\ 2x-4 & (x>3) \end{cases} \] 일 때 \(\displaystyle\lim_{x\to3}g(x)\)의 존재 여부를 판단하시오.
풀이에는 먼저
\[ \lim_{x\to3^-}g(x),\qquad \lim_{x\to3^+}g(x) \]
를 적는다. 왼쪽 극한은 \(5-3=2\), 오른쪽 극한은 \(2\cdot3-4=2\)이므로
\[ \lim_{x\to3^-}g(x)=\lim_{x\to3^+}g(x)=2 \]
이다. 따라서 전체 극한은 \(2\)로 존재한다. 이때 확인할 기준은 정답 숫자만이 아니라, 두 방향의 극한을 따로 계산하고 일치 여부를 근거로 남겼는지에 있다.