광사동 통학권 고3 수학과외: 그림보다 먼저 확인하는 직선과 평면
광사동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 양주시 내 옥빛고·덕현고·덕계고·덕정고·양주백석고 등을 통학권 참고 범위로 삼아 방과 후 이동 뒤 확보한 자습시간에 입체도형의 위치관계를 점검했다.
평행과 포함을 식으로 구분하기
학생은 다음 문제에서 답안 여백에 직선과 평면이 평행하다고 적었다.
직선 \(l:(x,y,z)=(1,2,0)+t(1,-1,2)\)와 평면 \(\Pi:x+y+z=3\)의 위치관계를 구하여라.
직선의 방향벡터는 \(\vec v=(1,-1,2)\), 평면의 법선벡터는 \(\vec n=(1,1,1)\)이다. 내적은
\[ \vec v\cdot\vec n=1-1+2=2\ne0 \]
이므로 직선은 평면과 평행하지 않다. 실제로 직선 위의 점 \(P(1,2,0)\)를 평면식에 대입하면 \(1+2+0=3\)이므로 \(P\in\Pi\)이다. 방향벡터가 평면에 평행하지 않으므로 직선은 평면을 한 점에서 만난다.
직선과 평면의 교점을 직접 구하면
\[ (1+t)+(2-t)+2t=3 \]
\[ 3+2t=3\Rightarrow t=0 \]
따라서 교점은 \(P(1,2,0)\) 하나이다. 학생의 ‘평행’이라는 결론은 틀렸고, 정확한 위치관계는 직선이 평면과 한 점에서 만나는 경우이다.
틀린 줄에 표시하고 조건을 다시 연결하기
학생은 답안의 ‘평행’에 밑줄을 긋고, 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터를 비교했다. 이후 다음 세 가지를 순서대로 확인했다.
- \(\vec v\cdot\vec n=0\)인지 계산하여 방향이 평면과 평행한지 확인한다.
- 직선 위의 한 점을 평면식에 대입하여 그 점이 평면에 포함되는지 확인한다.
- 교점 매개변수 \(t\)를 구해 해의 개수가 0개, 무한개, 1개 중 무엇인지 검산한다.
직선이 평면에 평행하려면 \(\vec v\cdot\vec n=0\)이어야 한다. 그 상태에서 직선 위의 한 점이 평면식도 만족하면 직선 전체가 평면에 포함되고, 만족하지 않으면 평행하지만 포함되지 않는다. 즉 ‘방향이 평행하다’는 사실만으로 두 경우를 결정할 수 없다.
조건을 바꾼 독립 검증
직선 \(m:(x,y,z)=(2,-1,1)+s(1,1,0)\)와 평면 \(\Sigma:x-y+2z=5\)의 위치관계를 구하여라.
이번에는 \(\vec v=(1,1,0)\), \(\vec n=(1,-1,2)\)이므로
\[ \vec v\cdot\vec n=1-1+0=0 \]
직선은 평면과 평행한 방향이다. 그러나 직선 위의 점 \((2,-1,1)\)을 대입하면
\[ 2-(-1)+2(1)=5 \]
가 되어 이 점이 평면 위에 있다. 방향도 평면에 평행하고 한 점도 평면에 포함되므로, 이번 직선 \(m\)은 평면 \(\Sigma\)에 포함된다. 학생은 처음 문제와 달리 ‘내적이 0이면 무조건 평행’이라고 결론 내리지 않고, 반드시 한 점의 평면식 대입까지 수행했다.