광사동고1수학과외

광사동고1수학과외, 한 입력에 출력 하나인지로 함수 판별하기

함수인지 판단할 때 식의 모양만 보고 결론을 내리면 안 된다. 먼저 입력값 하나가 정해졌을 때 출력값이 두 개 이상 연결되는지 확인해야 한다. 광사동에서 학교와 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 표, 대응 그림, 그래프처럼 표현이 달라진 문제를 비교하며 이 기준을 점검할 수 있다.

표의 빈칸보다 먼저 읽어야 할 입력과 출력

예를 들어 다음 대응표가 있다고 하자.

입력 1, 2, 3은 각각 출력 하나에만 대응하므로 함수이다. 서로 다른 입력이 같은 출력 4로 가는 것은 문제가 아니다. 반대로 다음처럼 입력 2에 출력이 두 개 연결되면 함수가 아니다.

여기서 문제가 되는 것은 출력 4와 7이 같지 않다는 사실 자체가 아니라, 하나의 입력 2가 두 출력에 대응된다는 점이다.

계산으로 넘어가기 전에 빠진 표시

학교 프린트의 대응 그림에서 학생은 화살표를 대략 훑은 뒤 곧바로 다음 문항의 계산을 시작했다. 답안 여백에는 함수인지 확인했다는 표시가 없었고, 입력 집합의 원소 하나에서 화살표가 두 갈래로 나뉘는지도 기록하지 않았다. 이는 함수 판별 기준을 완전히 모르는 상태라기보다, 식을 계산하기 전에 입력과 출력의 대응을 확인하는 과정이 아직 안정되지 않았음을 보여준다.

함수 판별: 입력 하나 → 출력 하나

예를 들어 대응이 －1→3, 0→5, 2→5, 4→8이라면 함수이다. 0과 2가 같은 5로 가도 입력별 출력의 개수는 각각 하나이기 때문이다. 반면 －1→3과 －1→6이 함께 있으면 －1에서 출력이 두 개이므로 함수가 아니다.

그래프에서는 세로선으로 같은 기준을 확인하기

그래프가 주어졌을 때는 세로선 검사를 이용할 수 있다. 세로선 하나가 그래프와 두 점 이상에서 만나면 같은 x값에 y값이 두 개 있다는 뜻이므로 함수가 아니다.

원의 방정식 x²+y²=25를 예로 들면 x=0일 때 y=5와 y=－5가 모두 가능하다. 따라서 이 원 전체는 함수의 그래프가 아니다. 반면 y=x²－3은 각 x에 대해 y값이 하나씩 정해지므로 함수이다. 같은 y값이 여러 x에서 나오는 것은 함수 판별에 방해되지 않는다.

체크 흔적을 풀이 속에 남기는 방법

표나 대응 그림을 받은 뒤 답만 적지 않고 입력값을 왼쪽에 세로로 나열한다. 각 입력 옆에는 출력의 개수를 1개 또는 2개 이상으로 표시한다. 그래프라면 특정 세로선을 실제로 그어 만나는 점의 수를 적는다.

예를 들어 대응이 2→6, 5→1, 5→4, 8→1이라면 다음처럼 기록한다.

• 입력 2: 출력 1개
• 입력 5: 출력 2개
• 입력 8: 출력 1개
• 판정: 함수 아님

이 기록이 있으면 ‘출력이 겹치므로 함수가 아니다’처럼 기준을 잘못 설명하는 일을 줄일 수 있다. 정확한 근거는 입력 5에 출력 1과 4가 함께 대응된다는 사실이다.

표·그래프의 정보가 달라져도 기준을 유지하는지 확인

새 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾼다. 표의 제목과 단위를 먼저 읽은 뒤, 가로축이 입력인지 세로축이 출력인지 확인하게 한다. 예를 들어 시간에 따른 거리 그래프라면 같은 시간에서 거리가 두 값으로 표시되는지 세로선으로 살핀다.

그 후 학생에게 “함수인가?”라는 답만 말하게 하지 않고, “입력값 ___에서 출력이 ___개이므로 함수이다/아니다”라고 근거를 먼저 말하게 한다. 표에서 입력 －2에 출력 9 하나, 입력 0에 출력 3 하나, 입력 4에 출력 9 하나가 대응된다면 “서로 다른 입력이 같은 출력 9를 가지지만 각 입력의 출력은 하나이므로 함수”라고 설명해야 한다. 이 문장과 확인 표시가 함께 나타날 때, 표현이 바뀐 문제에서도 함수 판별 기준을 스스로 적용한 것으로 볼 수 있다.