몇 항이 맞아도 귀납증명이 끝나지 않는 이유
고읍동고2수학과외 수업에서 통학 후 확보한 자습 시간에 수열의 공식 증명을 점검하던 중, 계산은 빠르지만 귀납법의 연결 문장이 빠진 답안이 발견됐다. 학생은 다음 식을 먼저 계산했다.
주장: 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\[ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2 \]
학생의 답안에는 \(n=1,2,3\)일 때 각각 \(1=1^2\), \(1+3=2^2\), \(1+3+5=3^2\)라는 확인만 남아 있었다. 이 계산은 앞의 몇 항에서 공식이 맞는지를 보여 줄 뿐, 모든 자연수에 대해 성립한다는 증명은 아니다.
계산 줄 사이에 들어가야 할 귀납적 연결
먼저 \(n=1\)을 대입하면
\[ 1=1^2 \]
이므로 첫 단계는 성립한다. 그러나 여기서 바로 결론을 내릴 수는 없다. 이제 어떤 자연수 \(k\)에 대해
\[ 1+3+\cdots+(2k-1)=k^2 \]
라고 가정해야 한다. 이 가정은 이미 증명된 사실이 아니라, 다음 항으로 넘어가기 위한 조건이다.
\[ \begin{aligned} 1+3+\cdots+(2k-1)+(2k+1) &=k^2+(2k+1)\\ &=k^2+2k+1\\ &=(k+1)^2 \end{aligned} \]
따라서 \(k\)에서 성립한다고 가정한 명제가 \(k+1\)에서도 성립한다. 첫 항에서 성립하고, 한 항에서 다음 항으로 이어지는 과정까지 확인했으므로 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대해 공식이 참이다.
다음 계산 전에 네모로 확인할 세 조건
증명 문제를 풀 때 학생은 계산식 위에 다음 세 칸을 먼저 만들도록 했다.
- □ 시작값: \(n=1\)에서 명제가 참인가?
- □ 귀납가정: \(n=k\)인 식을 정확히 적었는가?
- □ 연결계산: \(k\)의 식에 새 항 \(2k+1\)을 더해 \(k+1\)의 식이 되는가?
특히 마지막 칸에는
\[ k^2+(2k+1)=(k+1)^2 \]
처럼 새로 추가되는 항을 반드시 표시한다. 몇 개 항을 대입해 확인하는 과정은 시작값 점검이나 검산에는 도움이 되지만, 귀납가정과 \(k\rightarrow k+1\)의 계산을 대신할 수 없다.
계수와 첫 항을 바꾼 뒤에도 같은 연결을 쓰는가
검증 문제로 다음 명제를 제시했다.
\[ 2+4+6+\cdots+2n=n(n+1) \]
이때 \(n=1\)에서는 \(2=1\cdot2\)가 성립한다. 귀납가정
\[ 2+4+\cdots+2k=k(k+1) \]
을 세운 뒤에는 새 항 \(2(k+1)\)을 더해야 한다.
\[ \begin{aligned} 2+4+\cdots+2k+2(k+1) &=k(k+1)+2(k+1)\\ &=(k+1)(k+2) \end{aligned} \]
답안에서 \(n=1,2,3\)을 확인하는 데 그치지 않고, 시작값·귀납가정·다음 항을 이용한 계산을 모두 혼자 적었다면 공식의 확인과 증명을 구분해 적용한 것이다.