성분을 쓰기 전 첫 판단부터 점검하는 벡터 풀이
고읍동에서 통학 후 자습 시간을 확보하던 학생은 양주시 내 옥빛고등학교, 덕현고등학교, 덕계고등학교, 덕정고등학교, 양주백석고등학교 등의 통학권 자료를 참고하며 벡터 단원의 오답을 정리했다. 시험지를 다시 풀 때마다 결과만 “실수”라고 적고 넘어가던 습관 때문에, 평행과 수직을 판단하는 첫 단계에서 같은 오류가 반복됐다.
성분을 비교하지 않고 내적만 계산한 오답
두 방향벡터가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
u=(1, 2, -1), v=(2, 4, -2)
학생은 다음과 같이 풀이했다.
u·v=1×2+2×4+(-1)×(-2)=12≠0
따라서 두 직선은 수직이 아니고 평행도 아니다.
이 결론은 틀렸다. 내적이 0이 아니라는 사실은 수직이 아니라는 것만 알려 줄 뿐, 평행 여부를 판정하지는 않는다. 실제로 v=2u이므로 두 벡터는 같은 방향의 배수이고, 두 직선은 평행하다. 평행 조건은 성분의 비 또는 한 벡터가 다른 벡터의 실수배인지 확인해야 한다.
오류 표시부터 식의 관계까지 다시 쓰기
학생은 틀린 줄 앞에 별표를 붙이고 문자로만 “실수”라고 적는 대신 다음처럼 실패 지점을 구체화했다.
- ① 오류: 내적이 0이 아닌 것을 평행하지 않다는 근거로 사용함.
- ② 조건 확인: 평행은 v=ku인지, 수직은 u·v=0인지 구분함.
- ③ 식 수정: (2,4,-2)=2(1,2,-1)이므로 평행이라고 판정함.
- ④ 검산: 성분을 다시 합성해 2u=(2,4,-2)가 되는지 확인함.
직선 l의 방향벡터가 u이고 점을 지나며, 직선 m의 방향벡터가 v라면 방향만으로는 평행 여부를 먼저 판정할 수 있다. 두 직선이 실제로 같은 직선인지 확인하려면 한 직선의 점이 다른 직선 위에 있는지도 추가로 확인해야 한다. 예를 들어 l: x=(1,0,2)+t(1,2,-1), m: x=(3,4,0)+s(2,4,-2)에서 두 번째 직선의 기준점 차이는 (2,4,-2)=2u이므로 두 직선은 평행한 방향을 갖지만, 기준점 이동이 방향벡터의 배수인지 확인해야 같은 직선인지 판단할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
새로운 두 벡터를 a=(3,-2,1), b=(-2,-3,0)이라 하자. 이번에는 평행 여부를 성분비로 먼저 판단할 수 없으므로 내적으로 수직 여부를 확인한다.
a·b=3×(-2)+(-2)×(-3)+1×0=-6+6=0
따라서 두 방향벡터는 서로 수직이다. 학생은 답만 적지 않고, 별표 아래에 “내적 0 → 수직, 배수 관계 없음”이라고 남겼다. 반대로 c=(6,-4,2)는 c=2a이므로 a와 c는 평행이며, 내적 a·c=14≠0인 것도 평행 판정과 모순되지 않는다.