고읍동고1수학과외: 여러 조건을 집합관계로 바꾸는 명제 검산
양주시 고읍동에서 방과 후 이동 뒤 확보한 짧은 시간에 명제를 공부할 때는 조건을 읽고 곧바로 계산하는 습관보다, 각 조건이 나타내는 집합을 먼저 적는 과정이 필요하다. 고읍동 주소의 고등학교가 확인된 것은 아니므로 옥빛고등학교, 덕현고등학교, 덕계고등학교, 덕정고등학교, 양주백석고등학교 등 양주시 통학권의 학교 프린트와 변형 문제를 참고하더라도 풀이의 중심은 집합관계의 판별에 둔다.
조건을 읽고도 바로 다음 줄로 넘어간 장면
다음 명제를 살펴보자.
전체집합을 실수 전체라 할 때, 명제 p를 “x2-7x+10=0이면 2<x<5이다”라고 하자. p는 참인가?
학생은 이차방정식의 근을 구해 x=2, 5를 얻은 뒤, 답안에 “두 근 모두 2와 5 사이에 있으므로 참”이라고 적었다. 풀이 중간에 ‘p의 조건을 만족하는 값의 집합’과 ‘q의 조건을 만족하는 값의 집합’을 표시하지 않고 바로 다음 계산줄로 넘어간 것이다.
명제의 앞뒤 조건을 두 집합으로 분리하기
전건에 해당하는 집합을 A, 후건에 해당하는 집합을 B라고 두면
A={x∈R|x2-7x+10=0}={2,5}
B={x∈R|2<x<5}=(2,5)
명제 “p이면 q이다”가 참이 되려면 A의 모든 원소가 B에 포함되어야 한다. 즉 A⊂B인지 확인해야 한다. 그런데 2와 5는 모두 열린구간 (2,5)에 들어 있지 않으므로 A⊂B가 아니다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다.
학생의 오답은 근의 계산에서 발생한 것이 아니라, 계산한 결과를 집합관계로 옮겨 검산하지 않은 데서 생겼다. 특히 2<x<5는 양 끝값을 포함하지 않으므로 x=2, x=5를 조건을 만족하는 값으로 볼 수 없다.
빠진 검산 줄부터 다시 세우는 방법
오답을 고칠 때는 처음부터 문제 전체를 반복하지 않고, 빠진 위치에 다음 세 줄을 삽입한다.
- 전건의 해집합: A={2,5}
- 후건의 해집합: B=(2,5)
- A⊂B인지 확인: 2∉B, 5∉B이므로 거짓
이렇게 쓰면 ‘근을 구했다’는 사실과 ‘명제가 참이다’라는 결론 사이에 어떤 관계를 확인해야 하는지 드러난다. 반대로 “모든 x에 대하여 q이면 p이다”라면 B⊂A를 확인해야 하므로, 조건의 방향을 그대로 집합 포함관계의 방향으로 옮겨야 한다.
새 조건에서 문자 부분까지 설명하는 확인
훈련 뒤에는 조건을 바꾼 문제로 확인한다.
전체집합을 정수 전체라 할 때, A={x|x2-x-6=0}, B={x|−2≤x≤3}이다. “x∈A이면 x∈B이다”의 참·거짓을 집합관계로 판단하라.
학생이 먼저 x2-x-6=(x-3)(x+2)이므로 A={−2,3}이라고 쓰고, B={−2,−1,0,1,2,3}이라고 정리한다면 A⊂B이므로 명제는 참이라고 판단할 수 있다.
이때 풀이에 동류항이 포함된 식이 함께 제시되면 숫자의 모양이 아니라 문자 부분을 기준으로 묶는지도 본다. 예를 들어 3x와 −5x는 문자 부분이 모두 x라서 동류항이고, 3x와 2x2는 문자 부분과 차수가 달라 동류항이 아니다. 조건을 집합으로 정리한 뒤에도 이러한 기준을 말로 설명하는지 확인한다.
피곤한 날의 학습 종류 조정
통학과 방과 후 이동으로 집중 시간이 짧은 날에는 새로운 복합 명제를 많이 풀기보다, 이미 푼 문제에서 전건 집합·후건 집합·포함관계 세 줄만 가리고 다시 채우게 한다. 비교적 여유가 있는 날에는 부등호의 경계값이나 전체집합을 정수로 바꾼 문제를 사용해 집합의 원소가 달라지는 이유까지 설명하게 한다. 학습 결과는 문제 수가 아니라 조건을 집합으로 바꾸고 포함관계의 방향을 스스로 말했는지로 기록한다.