고암동중1수학과외, 작도 문제를 다시 풀 때 계산이 아닌 조건부터 검산하는 방법
컴퍼스로 선분을 옮겨 그리고도 “완성된 그림이 비슷하니 맞겠지”라고 넘어가는 중1 학생이 있다. 하지만 작도 문제의 정답은 자국의 모양이 아니라 무엇을 같게 만들었는지에 달려 있다. 선분의 길이를 옮긴 것인지, 각을 옮긴 것인지, 또는 두 조건을 이용해 삼각형을 만든 것인지 설명하지 못하면 같은 그림을 보고도 다른 문제에서 다시 막힌다.
고암동에서 회천중학교 학습을 준비할 때는 학교별 시험 범위와 수행평가 자료를 한꺼번에 반복하기보다, 평일 귀가 시간 안에 한 가지 작도 조건을 표시하고 설명하는 연습을 끝내는 방식이 효율적이다. 고암동 내 학교와 양주시의 참고 학교 자료는 구분해서 확인하되, 특정 학교의 시험 난도나 출제 경향을 임의로 단정하지 않고 실제 학교 자료에 나온 표현을 중심으로 대비해야 한다.
컴퍼스를 움직이기 전에 먼저 말해야 하는 것
작도 문제를 보면 바로 자를 대고 선을 긋는 행동부터 나오는 경우가 많다. 예를 들어 “주어진 선분과 같은 길이의 선분을 작도하여라”라는 문항에서 학생은 컴퍼스로 아무 선분의 양 끝을 찍은 뒤 비슷한 길이를 그린다. 이때 필요한 첫 문장은 “주어진 선분의 길이를 컴퍼스에 옮긴다”이다.
각의 이등분선을 작도할 때도 마찬가지다. 학생이 각의 꼭짓점에서 호를 그린 뒤 두 교점에서 다시 호를 그리지만, 왜 두 호가 만나는지 설명하지 못한다면 절차만 외운 상태다. 처음 호는 두 변에서 같은 거리에 있는 점을 만들고, 두 교점에서 같은 반지름으로 그린 호는 두 점에서 같은 거리에 있는 점을 만든다. 따라서 꼭짓점과 마지막 교점을 연결하면 두 변에서 같은 각을 이루는 선이 얻어진다.
실제 오답은 그림보다 ‘조건을 표시하지 않은 것’에서 시작된다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 삼각형을 작도하는 문제에서 컴퍼스 자국은 남겼지만 어떤 길이를 같게 했는지 답안에 표시하지 않는다. 답지를 본 직후에는 x와 y의 순서를 바꿔 읽는 좌표 문제도 함께 틀린다. 공통점은 눈으로 그림을 기억하고 머릿속에서 관계를 유지하려 한다는 점이다.
작도에서는 이 행동이 다음과 같이 나타난다.
- 주어진 선분의 양 끝을 표시하지 않고 컴퍼스부터 움직인다.
- 두 호의 교점을 표시하지 않아 마지막에 연결해야 할 점을 놓친다.
- 같은 반지름으로 그려야 하는 두 호를 서로 다른 크기로 그린다.
- 완성된 도형의 모양만 보고 조건이 실제로 만족되는지 확인하지 않는다.
- 서술형 답안에 “컴퍼스로 그린다”만 쓰고 무엇을 같게 하는지 생략한다.
이런 오답은 작도 단원을 모른다는 뜻으로만 볼 수 없다. 문제의 조건을 그림 위에 옮기고, 완성 후 다시 조건과 대조하는 중학교식 풀이 과정이 아직 익숙해지는 중인 것이다.
오답노트에는 그림 전체보다 변한 요소 하나를 남긴다
재풀이할 때는 같은 문제를 그대로 다시 그리는 데서 끝내지 않는다. 오답노트에 정답을 옮겨 적기 전에 컴퍼스를 움직이기 위한 조건을 한 문장으로 예측한다. 예를 들어 선분 AB를 옮기는 문제라면 “컴퍼스의 벌림을 AB의 길이와 같게 만든다”라고 쓴다. 각의 이등분선이라면 “두 변에서 같은 거리에 있는 점을 만든다”라고 적는다.
그 다음 그림에 직접 표시한다. 선분의 양 끝에는 같은 기호를 붙이고, 같은 반지름으로 그린 호에는 같은 표시를 남긴다. 삼각형 작도에서는 주어진 세 변 중 어느 길이를 어느 호로 옮겼는지 번호를 붙인다. 서술형 답안은 다음 세 칸으로 나누어 점검할 수 있다.
- 무엇을 옮겼는가?
- 어떤 점이나 호를 만들었는가?
- 그 결과 어떤 두 길이 또는 각이 같아지는가?
계산식처럼 한 줄마다 변한 요소 하나만 확인하는 방식도 적용할 수 있다. 첫 줄에서는 컴퍼스의 벌림, 다음 줄에서는 호의 교점, 마지막 줄에서는 연결한 선의 성질만 확인한다. 모든 것을 한 번에 외우려 하지 않으면 “그림은 맞는데 설명은 못하는” 상태를 줄일 수 있다.
다음 날에는 형식을 바꾼 문제로 재현한다
다음 날 같은 작도 문제를 그대로 다시 맞히는 것은 독립적인 검증이 아니다. 학교 자료에서 선분 작도 과정을 글로 제시했다면 문제집에서는 그림만 보고 빈칸을 채우게 하고, 반대로 그림이 주어진 문제는 작도 순서를 문장으로 쓰게 한다. 숫자나 도형 이름보다 조건의 역할이 유지되는지 확인하는 것이다.
예를 들어 전날에는 선분 AB를 옮겼다면 다음 날에는 길이가 표시되지 않은 선분 CD와 주어진 반직선을 이용해 같은 절차를 수행하게 한다. 각의 이등분선은 도형을 회전하거나 꼭짓점의 이름을 바꾸어 제시할 수 있다. 이때 학생은 그림의 방향이 달라져도 먼저 꼭짓점에서 호를 그리고, 두 교점에서 같은 반지름의 호를 그린 뒤, 두 호의 교점을 연결해야 한다.
검산은 완성된 작도 결과를 눈으로 비교하는 것이 아니라 원래 조건을 다시 대입하는 과정이다. 선분 작도라면 두 선분의 길이가 같은지 자로 확인하고, 각의 이등분선이라면 두 각의 크기가 같은지 각도기나 성질을 이용해 확인한다. 단순히 “그림이 비슷하다”는 판단은 검산으로 인정하지 않는다.
복습을 끝내는 기준
복습한 문제를 계속 남겨 두기보다 다음 세 가지를 도움 없이 수행하면 종료 표시를 한다. 컴퍼스를 움직이기 전 목표를 한 문장으로 말할 수 있는가, 그림에 같은 길이와 교점 조건을 표시할 수 있는가, 형식이 바뀐 문제에서도 완성 후 원래 조건으로 확인할 수 있는가이다.
반대로 다음 날 형식이 바뀐 문제에서 다시 실패했다면 전체 작도 단원을 처음부터 반복하지 않는다. “같은 반지름을 사용하지 못함”, “교점을 표시하지 않음”, “완성 후 조건을 대조하지 않음”처럼 원인을 한 가지로 분류하고 그 부분만 다시 그린다. 이후 학교 수행평가 자료를 짧은 지필형 문항으로 바꾸어, 작도 순서뿐 아니라 각 단계의 이유까지 설명하는지 확인하면 된다.