양주중1수학과외, 도형 이름을 아는 데서 관계를 설명하는 풀이로
“이건 삼각형이고, 이건 평행선이에요.” 도형의 이름은 빠르게 말하지만, 두 선이 왜 평행인지, 어떤 각이 같은지, 주어진 조건이 어느 부분을 가리키는지는 설명하지 못하는 중1 학생이 있다. 문제를 읽기 전에 그림에 보이는 숫자부터 계산하면 도형 문제는 더욱 쉽게 엉뚱한 답으로 이어진다. 양주중1수학과외에서는 도형을 많이 그리게 하기보다, 문제 속 관계를 표시하고 그 표시가 답의 근거가 되는지 확인하는 재풀이를 중심에 둔다.
숫자보다 먼저 확인해야 할 도형의 관계
예를 들어 “직선 l과 m이 평행하고, 한 직선이 두 직선을 만날 때 한 각의 크기가 65°이다. 다른 각의 크기를 구하여라.”라는 문제를 보자. 학생은 그림에서 65라는 숫자를 찾은 뒤 아무 각에나 더하거나 빼서 답을 정하려 할 수 있다. 그러나 먼저 해야 할 일은 직선 l, m에 평행 표시가 있는지, 두 직선을 가로지르는 선이 무엇인지, 구해야 하는 각이 65°와 어떤 위치 관계인지 확인하는 것이다.
동위각인지, 엇각인지, 맞꼭지각인지가 문제 해결의 핵심이라면 도형 이름만 외운 것으로는 충분하지 않다. 그림에 평행 표시, 같은 각 표시, 직선 기호를 직접 표시하고 “이 각은 주어진 각과 엇각이므로 같다”처럼 관계를 문장으로 말해야 한다. 각의 위치를 정확히 모르는 상태에서 계산부터 하면 65°를 그대로 쓰거나 180°에서 빼야 할 곳을 더하는 오답이 생긴다.
오래 막힌 학생의 실제 풀이 장면
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 좌표평면과 표를 연결하는 문제에서 문제의 요구사항을 끝까지 읽지 않고 표에 있는 3, 5, 7부터 계산한다. 실제로는 “점 A의 좌표를 읽고, 그 점이 어느 사분면에 있는지 쓰시오”라는 질문인데, 학생은 표의 수를 더해 15라고 적는다. 질문을 받으면 “모르겠어요”라고만 말하고, 무엇을 구하려 했는지 설명하지 못한다.
이 장면은 좌표 계산 실수라기보다 표시와 관계 확인이 빠진 경우다. 점의 이름, 가로축 값, 세로축 값을 구분하지 않았고, 표의 숫자와 문제의 요구를 연결하지 않았다. 도형 문제에서도 같은 행동이 나타난다. 삼각형의 이름은 말하지만 변과 변의 관계, 각과 각의 관계를 표시하지 않으므로 다음 날 숫자나 그림의 방향이 바뀌면 전혀 다른 유형으로 받아들인다.
재풀이를 줄이는 표시 순서
모든 문제를 처음부터 여러 번 다시 풀게 하지 않고, 오류가 난 줄을 찾는 방식으로 재풀이한다.
- 첫 줄에서 문제의 요구를 동그라미 친다. “구할 각”, “좌표”, “관계 설명”처럼 답의 종류를 적는다.
- 주어진 조건은 네모로 표시한다. 평행, 수직, 같은 길이, 같은 각, 좌표의 가로값과 세로값을 서로 다른 표시로 나눈다.
- 그림에 조건을 옮긴다. 평행선에는 같은 화살표, 같은 각에는 같은 호, 수직에는 직각 표시를 한다.
- 구할 대상과 직접 연결되는 관계를 한 문장으로 쓴다. 예를 들어 “이 두 각은 맞꼭지각이므로 크기가 같다”라고 적는다.
- 관계를 사용한 다음에만 계산한다. 계산식 아래에는 어떤 조건으로 식을 세웠는지 짧게 남긴다.
답이 틀렸을 때는 전체 풀이를 지우지 않는다. 요구사항을 잘못 읽었는지, 조건 표시를 빠뜨렸는지, 관계를 잘못 선택했는지, 마지막 계산에서 오류가 났는지를 나눈다. 표시 오류가 난 줄만 찾아 다시 계산하면 같은 문제를 의미 없이 반복하는 일을 줄일 수 있다.
맞힌 답도 완료로 처리하지 않는 기준
수행평가와 지필 준비가 겹치는 시기에는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 따로 확인해야 한다. 양주의 고암중학교, 남문중학교, 덕계중학교, 덕정중학교, 덕현중학교, 삼숭중학교를 참고하더라도 학교별 범위와 일정은 동일하다고 단정하지 않고, 실제 안내된 프린트와 범위를 기준으로 미완료 목록을 만든다. 평일 귀가 시간이 늦은 날에는 새 문제 수를 늘리기보다 표시가 빠진 오답 두세 개를 정확히 고친다.
완료 기준은 정답만이 아니다. 문제에서 구할 것을 표시했는가, 주어진 관계를 그림에 옮겼는가, 관계를 문장으로 설명했는가, 계산 결과를 원래 조건과 비교했는가를 함께 확인한다. 예를 들어 어떤 각을 115°라고 구했다면 직선 위의 이웃한 각인지, 맞꼭지각인지에 따라 65° 또는 115°가 될 수 있으므로 위치 관계와 합이 180°인지 검산한다.
일주일 뒤 바뀐 그림에서 확인하는 독립 적용
같은 문제를 바로 다시 맞힌 것만으로는 관계를 이해했다고 보기 어렵다. 일주일 뒤에는 숫자를 65°에서 48°로 바꾸고, 도형을 좌우로 회전하거나 구하는 각의 위치를 바꾼 문제를 제시한다. 학생이 도움 없이 먼저 요구사항에 표시하고, 평행 표시와 각 표시를 찾아, “엇각이므로 같다” 또는 “이웃한 각의 합은 180°”라고 선택하는지를 본다.
좌표와 표가 함께 나오는 문제라면 표의 행과 열을 바꾸고, 불필요한 숫자를 하나 추가한다. 이때도 숫자를 먼저 계산하지 않고 “점 B의 가로 좌표와 세로 좌표를 각각 읽는다”라고 시작하면 독립 적용이 된 것이다. 반대로 정답은 맞혔지만 표시 없이 오래 걸렸다면 완료가 아니라 재확인 대상으로 남긴다. 양주중1수학과외에서 말하는 도형 학습의 변화는 이름을 빠르게 대는 데서 끝나지 않고, 보이지 않는 관계를 표시와 문장으로 꺼내어 새로운 그림에서도 설명하는 데서 확인된다.