호계동고2수학과외에서 먼저 확인하는 귀납법의 범위
수학적 귀납법은 식을 몇 번 계산해 맞는지 확인하는 방법이 아니라, 자연수 범위 전체에서 등식이 성립하는 구조를 증명하는 방법이다. 호계동의 평촌고등학교와 평촌과학기술고등학교 학생들도 학교별 시험 범위와 수행평가 일정에 따라 풀이 기록을 짧고 정확하게 남기는 연습이 필요하다. 호계도서관이나 금정역호계푸르지오아파트 생활권에서 복습할 때도 다음 세 가지를 먼저 확인해야 한다.
주장하는 범위, 첫 번째 항에서의 성립 여부, n=k라는 가정이 다음 항으로 이어지는지를 순서대로 점검하는 것이다.
첫 단계 없이 이어지는 식은 증명이 될 수 없다
다음 명제를 살펴보자.
모든 자연수 n에 대하여
1+3+5+⋯+(2n-1)=n2
학생이 다음처럼 적었다고 하자.
n=k일 때 성립한다고 하고, n=k+1에서도 성립하므로 모든 n에 대해 참이다.
이 풀이에는 두 가지 빈칸이 있다. 먼저 n=1에서 실제로 성립하는지 확인하지 않았고, 어떤 자연수 k에서 식이 성립한다고 가정하는지도 식으로 쓰지 않았다. 귀납법은 첫 항이 출발점이 되어야 하므로, 이 두 부분이 없으면 뒤의 계산만으로 전체 범위를 보장할 수 없다.
양변을 동시에 움직이지 말고, 증명할 대상을 고정하기
첫 단계는 다음과 같다.
n=1: 1=12
이제 귀납 가정을 분명히 적는다.
1+3+5+⋯+(2k-1)=k2 (k≥1)
그러면 k+1일 때의 왼쪽은 마지막 항을 하나 더 붙인 형태다.
1+3+⋯+(2k-1)+(2(k+1)-1)
귀납 가정을 적용하면
= k2+(2k+1)
= (k+1)2
따라서 k에서 성립한다는 가정이 k+1의 등식으로 연결된다. 여기서 양변을 각각 변형해 양쪽이 비슷해졌다고 쓰는 대신, k+1에서 증명할 왼쪽을 먼저 적고 귀납 가정을 한 번 적용한 뒤 오른쪽 꼴에 도달했는지를 확인해야 한다.
계산 전에 네모로 적는 확인조건
풀이 다음 줄에 들어가기 전 답안 여백에 아래처럼 표시한다.
□ 명제의 범위: n≥1
□ 첫 단계: n=1에서 성립
□ 귀납 가정: n=k에서 성립한다고 명시
□ 목표: n=k+1의 왼쪽을 정리해 (k+1)2 도출
이 체크를 하면서 위 문제를 다시 쓰면, 첫 줄의 n=1과 가정식이 빠지지 않고, 변형 과정도 무엇을 증명하는지 분명해진다.
짧은 식에서 범위와 출발점을 다시 확인하기
다음 명제를 독립적으로 확인한다.
n≥1일 때
2+4+6+⋯+2n=n(n+1)
먼저 n=1이면 2=1×2로 성립한다. 귀납 가정을
2+4+⋯+2k=k(k+1)
로 두면, k+1일 때
2+4+⋯+2k+2(k+1)
=k(k+1)+2(k+1)
=(k+1)(k+2)
가 된다. 이는 n=k+1을 대입한 n(n+1)과 같다.
이 문제에서 첫 줄에 범위와 n=1 검산을 스스로 남겼다면, 계산량이 짧아도 귀납법의 적용 조건과 증명 범위를 놓치지 않은 것이다.