호계동고1수학과외, 양화사와 부등호를 함께 바꾸는 명제의 부정
평촌고등학교 프린트에서 다음 명제를 다룬 뒤, 학생은 부정문을 만들면서 부등호만 바꾸었다.
모든 실수 x에 대하여 x2+1>0이다.
학생이 적은 답은 “모든 실수 x에 대하여 x2+1≤0이다”였다. 이 식은 원래 명제의 부정이 아니다. ‘모든’이라는 양화사가 그대로 남아 있기 때문이다.
부정은 표현 두 곳을 동시에 바꾼다
“모든 x에 대하여 P(x)이다”의 부정은 “어떤 x에 대하여 P(x)가 아니다”이다. 따라서
모든 x에 대하여 x2+1>0이다
의 부정은
어떤 실수 x에 대하여 x2+1≤0이다
가 된다. ‘모든’은 ‘어떤’으로 바뀌고, ‘>’는 ‘≤’로 바뀐다. 실제로 x2≥0이므로 x2+1≥1이고, x2+1≤0을 만족하는 실수는 없다. 따라서 원래 명제가 참이라는 사실과도 맞는다.
학생의 표시 방식에서 빠진 한 부분
풀이를 살펴보니 학생은 부등호에만 동그라미를 치고 양화사에는 표시하지 않았다. 혼자 다시 풀 때에도 ‘모든/어떤’을 말로 확인하지 않은 채, 식의 기호만 ≤로 고쳐 답란에 옮겼다. 이는 부정의 개념을 전혀 모르는 상태라기보다, 부정 대상이 문장 전체라는 점을 풀이 과정에서 놓친 경우에 가깝다.
양화사가 있는 명제는 먼저 문장을 기호로 정리하면 판단이 분명해진다.
∀x∈R, x2−4x+7≥0
의 부정은
∃x∈R, x2−4x+7<0
이다. ‘∀’는 ‘∃’로, ‘≥’는 ‘<’로 바뀐다. 실제로 x2−4x+7=(x−2)2+3이므로 모든 실수에서 양수이고, 부정 조건을 만족하는 x는 존재하지 않는다.
논리연산이 붙으면 괄호 단위로 읽는다
부정할 문장이 여러 조건의 논리연산으로 연결되어 있다면 각 조건과 연결 기호를 따로 확인해야 한다. 예를 들어
모든 실수 x에 대하여 x≤−1 또는 x>3이다.
의 부정은
어떤 실수 x에 대하여 −1<x≤3이다.
이다. ‘모든’은 ‘어떤’으로 바뀌고, ‘또는’은 ‘그리고’의 형태로 바뀌며, 각 부등호도 부정된다. 즉 x≤−1의 부정은 x>−1, x>3의 부정은 x≤3이므로 두 조건을 함께 만족하는 −1<x≤3을 얻는다.
오답노트에는 긴 해설 대신 “문장 전체를 부정하기 위해 양화사부터 표시한다”라는 행동 하나를 남긴다. 이후 풀이에서는 양화사, 논리연산, 부등호에 각각 짧은 표시를 한 뒤 답을 작성한다.
학교 일정 사이에 짧게 확인하는 방법
호계동에서 평일 귀가 시간이 늦거나 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 긴 문제 풀이보다 한 문장의 변환 과정을 정확히 기록하는 방식이 적합하다. 호계도서관이나 금정역호계푸르지오아파트 생활권에서 확보한 짧은 시간에는 다음처럼 원문과 부정문을 나란히 적는다.
- ∀x∈R, x+5>2 → ∃x∈R, x+5≤2
- ∃x∈R, x2−9≤0 → ∀x∈R, x2−9>0
두 번째 예에서는 존재 양화사가 모든 양화사로 바뀌는 점까지 확인해야 한다. 원문에는 실제로 −3≤x≤3인 실수가 존재하므로 참이고, 부정문은 모든 실수에서 x2−9>0이어야 한다고 주장하므로 거짓이다.
조건의 배열을 바꾼 새 문장에서 확인하기
마지막에는 원래 예제의 숫자만 바꾸지 않고, 조건의 제시 순서를 섞은 문제를 제시한다.
다음 명제의 부정을 쓰시오.
어떤 실수 x에 대하여 x<−2이고 x2−1≥0이다.
정확한 부정은
모든 실수 x에 대하여 x≥−2 또는 x2−1<0이다.
이다. ‘어떤’은 ‘모든’으로, ‘이고’는 ‘또는’으로, x<−2는 x≥−2로, x2−1≥0은 x2−1<0으로 바뀐다. 학생이 답지를 찾기 전에 이 네 변화를 스스로 표시하고 한 번 더 시도하는지 확인한다. 조건의 순서와 표현이 달라져도 양화사·논리연산·부등호를 모두 추적하면 부정문을 완성할 수 있다.