호계동 고3수학과외: 내적을 벡터곱과 구별하는 풀이
호계동에서 평촌고등학교와 평촌과학기술고등학교의 시험 범위, 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 조정하는 학생은 짧은 시간에도 문제의 조건을 먼저 분리하는 연습이 필요하다. 호계도서관이나 금정역호계푸르지오아파트 생활권에서 공부할 때도 계산보다 벡터의 성분과 방향이 어떤 관계를 이루는지 확인하도록 지도했다.
답안 여백에 나타난 내적 오답
문제에서 벡터 \(\vec a=(2,-3)\), \(\vec b=(4,1)\)일 때 \(\vec a\cdot\vec b\)를 구하라고 하자 학생은 다음과 같이 적었다.
\(\vec a\cdot\vec b=(2\cdot4,\,-3\cdot1)=(8,-3)\)
이 식은 틀린 답이다. 성분별 곱 \((8,-3)\)은 벡터이지만, 내적의 결과는 두 벡터의 방향 관계를 나타내는 하나의 실수여야 한다. 따라서 각 성분의 곱을 더해야 한다.
\[ \vec a\cdot\vec b=2\cdot4+(-3)\cdot1=8-3=5 \]
학생은 처음에 ‘점 기호가 있으니 성분끼리 곱한다’고만 판단했다. 그러나 내적은 좌표 성분을 곱한 뒤 합하는 연산이며, 결과가 스칼라인지 벡터인지 먼저 구별해야 한다.
조건을 골라내며 식을 고치는 과정
- 틀린 줄 표시: \((2\cdot4,-3\cdot1)\)에서 계산을 멈춘 부분에 밑줄을 긋는다.
- 변수 관계 확인: 내적은 \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\)와 연결되므로 결과가 방향각을 판단할 수 있는 실수임을 확인한다.
- 식 수정: \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2\)로 바꾸어 \(2\cdot4+(-3)\cdot1=5\)를 계산한다.
- 역검산: \(|\vec a|=\sqrt{13}\), \(|\vec b|=\sqrt{17}\)이므로 \(\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{221}}\)이다. 값이 양수이므로 두 벡터의 끼인각은 예각이라는 판단도 일치한다.
이후 여러 후보 중 수직 조건을 고르는 문제에서는 내적이 0인지 먼저 확인했다. 예를 들어 \(\vec c=(3,2)\), \(\vec d=(2,-3)\)이면
\[ \vec c\cdot\vec d=3\cdot2+2\cdot(-3)=6-6=0 \]
이므로 두 벡터는 수직이다. 단순히 성분의 부호가 다르다는 이유가 아니라 내적의 값이 0이라는 조건으로 결론을 내렸다.
부호를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않도록 벡터를 \(\vec p=(-5,2)\), \(\vec q=(1,4)\)로 바꾸어 다시 풀었다.
학생의 초기 방식대로라면 \((-5,4)\)가 되지만, 이는 내적이 아닌 성분별 곱의 벡터다. 정확한 계산은
\[ \vec p\cdot\vec q=(-5)\cdot1+2\cdot4=-5+8=3 \]
이다. 두 벡터의 길이는 \(|\vec p|=\sqrt{29}\), \(|\vec q|=\sqrt{17}\)이므로
\[ \cos\theta=\frac{3}{\sqrt{29}\sqrt{17}}>0 \]
가 되어 끼인각이 예각이라는 결과도 내적의 부호와 일치한다. 숫자와 부호를 바꾼 뒤에도 ‘성분별 곱을 더해 실수로 만든다’는 판단을 재현하면서 내적 사용 여부를 독립적으로 검증했다.