평촌동고2수학과외에서 확인한 수학적 귀납법의 연결 고리
평촌트리지아와 평촌마을 생활권에서 귀가 후 학교 프린트의 증명 문제를 점검할 때, 수학적 귀납법은 풀이 순서보다 귀납가정을 다음 단계 식에 실제로 끌어오는 위치가 중요하다. 동안고등학교와 백영고등학교 등 평촌동의 고등학교 과제를 살펴보는 과정에서도 이 부분이 답안의 완성도를 가른다.
k+1식을 바로 정리하면서 사라진 귀납가정
다음 명제를 증명한다고 하자.
P(n): 1+3+5+⋯+(2n-1)=n²
먼저 n=1에서는 1=1²이므로 성립한다. 이제 n=k에서 성립한다고 가정하면
1+3+5+⋯+(2k-1)=k²
이어 n=k+1일 때의 좌변은 마지막 항 2k+1을 더한 형태이므로
1+3+⋯+(2k-1)+(2k+1)
이어야 한다. 그런데 재풀이에서 다음처럼 적으면 귀납가정을 사용하지 않은 채 결론만 적은 셈이다.
Sk+1=(k+1)² (잘못된 줄)
이 줄은 결과 자체는 맞지만, Sk와의 연결이 보이지 않는다. 귀납법의 핵심인 “k에서 성립한다면 k+1에서도 성립한다”는 논리가 빠져 있기 때문이다.
귀납가정을 끌어오는 정확한 위치
수정할 때는 새 항을 더하는 순간 귀납가정을 넣는다.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
Sk+1=(k+1)² |
Sk+1=Sk+(2k+1)=k²+(2k+1)=(k+1)² |
두 줄에서 반드시 새로 확인할 기호는 Sk이다. Sk=k²가 바로 앞의 귀납가정에서 온다는 점을 답안에 문장으로 적어야 한다.
귀납가정 Sk=k²를 사용하면,
Sk+1=Sk+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²
이렇게 쓰면 계수와 부호가 바뀌어도 같은 연결을 찾아야 하므로 직전 예제의 모양만 복사할 수 없다.
계수와 부호를 바꾼 식에서 다시 확인하기
이번에는 다음 명제를 점검한다.
2-4+6-8+⋯+(-1)n+1·2n = (-1)n+1n(n+1)
이 식은 항의 부호가 번갈아 바뀌므로 단순히 마지막 항을 더한다고 처리하면 안 된다. n=k의 합을 Sk라고 두고 귀납가정
Sk=(-1)k+1k(k+1)
을 먼저 적는다. 그러면 다음 항은 (-1)k+2·2(k+1)이므로
Sk+1=Sk+(-1)k+2·2(k+1)
가 된다. 여기에서 Sk를 귀납가정으로 바꾸어야 비로소
Sk+1=(-1)k+1k(k+1)+(-1)k+22(k+1)
처럼 부호와 계수를 함께 검토할 수 있다. 새 문항에서도 답안 첫 줄에 “Sk를 귀납가정으로 치환한다”라고 먼저 적는지 확인하면, k+1식만 정리하던 풀이와 구별된다.
교사의 질문 없이 남겨야 할 확인 문장
마지막 점검에서는 정답만 보지 않고 다음 세 줄의 순서를 확인한다.
k에서 성립한다고 가정한다.k+1의 합은 k번째 합에 새 항을 더한 것이다.Sk에 귀납가정의 식을 대입한다.
특히 두 번째 줄 없이 Sk+1을 곧바로 전개하거나, 세 번째 줄 없이 최종식을 적으면 이전의 오류가 다시 나타난 것이다. 반대로 계수와 부호가 달라진 식에서도 Sk를 먼저 표시하고 귀납가정을 대입했다면, 귀납법의 논리적 연결을 새로운 조건에 맞게 적용한 것으로 판단할 수 있다.