평촌동고1수학과외, 해집합 포함으로 명제의 조건 판단하기
동안고등학교나 백영고등학교의 학교 프린트를 정리할 때, 조건이 방정식 또는 부등식으로 제시된 명제에서는 계산 결과만으로 참·거짓을 정할 수 없다. 조건이 나타내는 해집합을 구한 뒤, 한 해집합이 다른 해집합에 포함되는지를 확인해야 한다. 평촌동고1수학과외 학습에서도 이 판단을 답안의 한 줄로 분명하게 남기는 과정이 필요하다.
계산은 이어 갔지만 빠진 한 줄
다음 명제를 살펴보자.
실수 전체에서 조건 p를 만족하면 조건 q를 만족한다.
p: |x-1|≤2, q: x2-2x-3≤0
학생은 절댓값 부등식을 풀어
-1≤x≤3
을 얻은 뒤, q를 인수분해하여
(x-3)(x+1)≤0
에서 -1≤x≤3이라고 적었다. 계산 자체는 맞지만, 답안에는 p의 해집합과 q의 해집합이 같다는 사실만 있고, 명제의 조건인 ‘p의 해집합이 q의 해집합에 포함되는가’라는 판단이 드러나지 않았다.
방정식과 부등식의 해집합을 먼저 나란히 놓기
p의 해집합은 절댓값의 정의에 따라
|x-1|≤2 ⟺ -2≤x-1≤2 ⟺ -1≤x≤3
이다. 이때 절댓값 계산과 부호 판단을 섞지 않고, 먼저 양변의 범위를 만든 다음 x의 범위를 정리한다.
q는
x2-2x-3=(x-3)(x+1)
이므로 두 경계값 -1과 3을 기준으로 부호를 판단한다. 곱이 0 이하인 구간은 두 근 사이이므로
q의 해집합=[-1, 3]
이다. 따라서
p의 해집합=[-1,3] ⊆ q의 해집합=[-1,3]
가 성립하고, 명제는 참이다. 해집합이 방정식에서 얻어졌는지 부등식에서 얻어졌는지는 다를 수 있지만, 최종 판단은 두 집합의 포함관계로 해야 한다.
조건이 추가된 자리부터 다시 쓰는 훈련
이 학생의 풀이에서는 q를 계산한 직후에 해집합 포함 판단이 빠졌다. 따라서 오답 수정 때 풀이 전체를 무작정 반복하지 않고, 다음 줄에 표시를 남긴다.
p의 해집합=[-1,3], q의 해집합=[-1,3]이므로 p의 해집합은 q의 해집합에 포함된다.
그 뒤 결론을 따라서 주어진 명제는 참이다.로 연결한다. 만약 조건이 p가 아니라 q라면 방향이 달라진다. 예를 들어 p의 해집합이 [-1,3], q의 해집합이 [-2,4]라면 p⊆q이므로 ‘p이면 q’는 참이지만, ‘q이면 p’는 거짓이다. 계산값이 같거나 비슷한지만 보는 것이 아니라 조건과 결론의 방향까지 해집합에 대응시켜야 한다.
부호표와 절댓값 계산을 분리해서 확인하기
귀가 후 과제량이 많은 날에는 풀이를 짧게 적더라도 다음 두 부분을 구분해 표시한다.
- 절댓값 조건: |x-a|≤r에서 a-r≤x≤a+r인지 확인한다.
- 다항식 부등식 조건: 근의 위치와 각 구간의 부호를 따로 확인한다.
- 마지막 줄: 앞 조건의 해집합이 뒤 조건의 해집합에 포함되는지 기호로 적는다.
이 표시가 있어야 조건이 방정식이나 부등식으로 바뀌었을 때도 단순 계산 뒤에 결론을 생략하지 않는다. 식, 근거, 결론을 각각 확인하는 방식으로 학교 프린트의 서술형 답안을 점검할 수 있다.
길이와 각 조건을 바꾼 도형으로 확인하기
같은 판단을 새로운 도형 조건에 적용해 보자. 좌표평면에서 점 P가 x축 위에 있고, 원점 O와의 거리가 4 이하라는 조건을 p, 점 P의 x좌표가 -5 이상 5 이하라는 조건을 q로 둔다.
p는 점 P의 좌표를 (x,0)으로 놓으면
OP=|x|≤4
이므로 해집합은 [-4,4]이다. q의 해집합은 [-5,5]이므로
[-4,4]⊆[-5,5]
가 성립한다. 따라서 ‘OP≤4이면 -5≤x≤5이다’는 참이다. 여기서 길이 조건을 4에서 6으로 바꾸면 p의 해집합은 [-6,6]이 되어 q에 포함되지 않는다. 학생이 절댓값 계산과 부호 판단을 분리한 뒤, 바뀐 조건에서 해집합 포함 여부를 다시 적는지 확인할 수 있다.
평촌트리지아와 평촌마을 생활권에서 확보한 짧은 학습시간에는 새 문제의 정답만 확인하지 말고, 해집합을 구한 식, 포함관계의 근거, 명제의 결론을 차례로 표시했는지 살펴보면 된다.