평촌동 고3 수학과외에서 점검한 위치벡터의 기준점 변화
평촌동에서 동안고등학교와 백영고등학교에 다니는 학생들은 귀가 시각과 과제량에 따라 시험 준비 순서를 조정해야 합니다. 한 학생은 풀이 해설은 이해했지만, 조건이 바뀐 좌표 문제에서 기준점과 벡터의 방향을 다시 설정하는 과정이 부족했습니다.
원점이 이동하면 위치벡터도 다시 정해야 한다
점 \(A(2,-1)\), \(B(5,3)\)에 대하여 원점이 \(O(0,0)\)에서 \(O'(1,2)\)로 이동하고, 새로운 점 \(C\)가 \(A\)에서 \(B\)로 향하는 방향과 평행하며 \(OC=2\)가 되도록 하자.
학생은 먼저
\(\overrightarrow{AB}=(5-2,3-(-1))=(3,4)\)
를 구한 뒤, 원점이 바뀐 사실을 반영하지 않고
\(\overrightarrow{OC}=2(3,4)=(6,8)\)
이라고 적었습니다. 이 식은 오답입니다. \((3,4)\)는 방향벡터일 뿐 길이가 \(5\)이므로, 길이 \(2\)인 벡터로 사용하려면 \(\dfrac{1}{5}(3,4)\)로 표준화해야 합니다. 또한 이동한 원점에서의 위치벡터는 기존 \(\overrightarrow{OC}\)가 아니라 \(\overrightarrow{O'C}\)로 계산해야 합니다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 연결한 풀이
학생은 왼쪽 여백에 ‘기준점 유지, 길이 조정 누락’이라고 표시했습니다. 이후 방향벡터의 크기를 확인했습니다.
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
따라서 길이 \(2\)인 방향벡터는
\(\overrightarrow{O'C}=2\cdot\dfrac{(3,4)}{5}=\left(\dfrac65,\dfrac85\right)\)
입니다. 새 원점 \(O'(1,2)\)에서 출발하므로 점 \(C\)의 좌표는
\(C=O'+\overrightarrow{O'C}=\left(1+\dfrac65,2+\dfrac85\right)=\left(\dfrac{11}{5},\dfrac{18}{5}\right)\)
가 됩니다.
학생은 별표로 검산 지점을 남기고, 역계산으로
\(\overrightarrow{O'C}=C-O'=\left(\dfrac{11}{5}-1,\dfrac{18}{5}-2\right)=\left(\dfrac65,\dfrac85\right)\)
를 확인했습니다. 다시 크기를 계산하면
\(\sqrt{\left(\dfrac65\right)^2+\left(\dfrac85\right)^2}=2\)
이므로 길이 조건도 만족합니다.
두 조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 \(O'(2,-1)\), \(A(1,2)\), \(B(5,3)\)으로 바꾸고, \(C\)가 \(A\)에서 \(B\) 방향과 반대이며 \(|\overrightarrow{O'C}|=3\)인 문제를 새로 풀었습니다.
\(\overrightarrow{AB}=(4,1)\), \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{17}\)이므로
\(\overrightarrow{O'C}=-3\cdot\dfrac{(4,1)}{\sqrt{17}}=\left(-\dfrac{12}{\sqrt{17}},-\dfrac{3}{\sqrt{17}}\right)\)
입니다. 따라서
\(C=\left(2-\dfrac{12}{\sqrt{17}},-1-\dfrac{3}{\sqrt{17}}\right)\)
가 됩니다. 학생은 이전 문제의 후보를 남기지 않고, 이동한 원점과 반대 방향 조건을 적용해 후보를 모두 제거했습니다. 마지막으로 \(\overrightarrow{O'C}\cdot\overrightarrow{AB}=-3\sqrt{17}<0\)임을 확인하여 두 벡터가 둔각 방향임도 검산했습니다.