안양동고2수학과외

안양동 고2수학과외: 부등식 귀납법은 첫 조건과 성립 범위부터 확인해야 합니다

“k² ≤ 2^k이므로 (k+1)² ≤ 2^k+1이다.”

안양동에서 고2 수학 과제를 점검하던 중 이런 한 줄만 남은 답안이 발견되었습니다. 결론은 맞는 방향처럼 보이지만, 첫 단계와 가정이 빠졌고, k에서 k+1로 넘어갈 때 어떤 항을 비교했는지도 드러나지 않습니다. 수학적 귀납법에서는 이 빈칸 때문에 증명 전체의 성립 범위를 판단할 수 없게 됩니다.

n=1에서 시작하면 명제가 이미 거짓이다

다음 부등식을 생각해 보겠습니다.

n² ≤ 2ⁿ을 n≥4인 모든 자연수 n에 대하여 증명하라.

학생이 첫 줄에 n=1을 넣고 “1≤2이므로 성립한다”고 썼다면, 이는 이 문제의 시작 조건과 맞지 않습니다. 이 명제는 n=2에서는 4≤4로 성립하지만, n=3에서는 9≤8이 되어 거짓입니다. 따라서 증명의 범위는 반드시 n≥4로 잡아야 합니다.

귀납 단계에서 추가되는 2k+1을 빼먹지 않기

먼저 기초 단계에서 n=4를 확인합니다.

4²=16, 2⁴=16이므로 4²≤2⁴입니다.

이제 어떤 자연수 k≥4에 대하여

k²≤2^k

라고 가정합니다. 다음 항은

(k+1)²=k²+2k+1

입니다. 학생의 계산 흔적처럼 k²에 1만 더해 k²+1로 쓰면 안 됩니다. 추가항은 2k+1이며, 이 항의 크기를 별도로 비교해야 합니다.

k≥4이므로

2k+1≤k²

이고, 귀납 가정에 따라 k²≤2^k입니다. 따라서

(k+1)²=k²+2k+1≤k²+k²=2k²≤2·2^k=2^k+1

입니다. 그러므로 n=k+1에서도 부등식이 성립하고, 수학적 귀납법에 따라 n≥4인 모든 자연수 n에 대하여 n²≤2ⁿ입니다.

부등호를 유지하려면 더해지는 항의 관계를 확인해야 한다

부등식 A≤B에서 같은 양을 더하면 부등호가 유지되지만, 귀납 단계에서는 양변에 단순히 같은 항을 더하는 상황이 아닐 수 있습니다. 위 문제에서는

(k+1)²=k²+(2k+1)

이고, 오른쪽은

2^k+1=2·2^k

로 바뀝니다. 따라서 “귀납 가정이 있으므로 다음 단계도 당연히 성립한다”고 쓰지 말고, 추가항 2k+1이 확보되는 여유 안에 들어오는지 확인해야 합니다.

답안에는 다음 세 줄을 남기는 것이 좋습니다.

1. 기초 단계: n=4에서 16≤16 확인
2. 귀납 가정: k≥4에서 k²≤2^k라고 둠
3. 귀납 단계: 2k+1≤k²를 이용해 (k+1)²≤2^k+1을 증명

문자 없이 대입해 보는 마지막 점검

문자식의 관계가 실제로 맞는지 k=4를 넣어 확인해 봅니다.

(k+1)²=5²=25이고, 2^k+1=2⁵=32이므로 25≤32입니다.

또한 추가항은 2k+1=9, k²=16이어서 9≤16입니다. 반대로 잘못된 계산인 (k+1)²=k²+1을 적용하면 25를 17로 바꾸게 되어 원래 식을 보존하지 못합니다.

안양동의 고등학교 과제와 시험 준비를 함께 점검할 때도 귀가 후 풀이량만 세기보다, 부등식 귀납법 답안에 시작값·귀납 가정·추가항 비교가 실제로 남아 있는지 확인해야 합니다. 새로운 수로 k=5를 대입했을 때도 2k+1=11≤25를 스스로 확인하고, 6²=36≤64까지 연결한다면 범위와 귀납 단계의 판단이 함께 유지된 것입니다.