안양동고1수학과외에서 대우로 짧아지는 명제 판별하기
안양동의 고등학교 과제와 지필형 문제를 함께 정리할 때는 명제의 결론만 적는지, 아니면 어떤 증명 방법을 선택했는지까지 살펴볼 필요가 있다. 특히 대우를 이용하면 직접 증명보다 짧아지는 명제를 구별하는 과정이 고1 명제 단원에서 중요한 판단이 된다.
결과식만 남은 답안
학교 프린트에 다음 명제가 제시되었다.
자연수 n에 대하여, n2이 짝수이면 n은 짝수이다.
학생의 답안에는 결론에 해당하는 식만 적혀 있고, 왜 대우를 선택했는지는 나타나지 않았다. 이 명제의 대우는 “n이 홀수이면 n2이 홀수이다”이다. 원래 명제와 대우는 참·거짓이 같지만, 대우 쪽은 홀수의 형태를 바로 대입할 수 있어 계산이 짧다.
두 증명의 길이를 먼저 비교하기
직접 증명에서는 n2이 짝수라는 조건을 이용해 n이 짝수임을 보여야 한다. 반면 대우를 이용하면 홀수인 자연수를 n = 2k + 1로 놓을 수 있다.
그러면
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1
이므로 n2은 홀수이다. 따라서 대우가 참이고, 원래 명제도 참이다. 학생이 답안에 남겨야 할 판단은 “홀수의 표현을 바로 사용할 수 있으므로 대우가 더 짧다”는 한 문장이다.
대우를 선택해야 하는 신호
- 원래 조건을 식으로 바꾸기 어렵지만, 결론의 부정은 홀수·음수·0이 아닌 수처럼 형태가 분명할 때
- 결론을 직접 가정하면 추가적인 경우 나누기가 필요하지만, 결론의 부정을 가정하면 한 번의 대입으로 모순이나 반대 조건이 나올 때
- 명제의 조건과 결론을 바꿔 쓰는 것이 아니라, 각각을 부정한 뒤 순서를 뒤집어야 할 때
예를 들어 “두 정수 a, b의 곱 ab가 홀수이면 a, b가 모두 홀수이다”에서는 대우가 “a 또는 b 중 적어도 하나가 짝수이면 ab는 짝수이다”가 된다. 여기서 ‘둘 중 적어도 하나가 짝수’라는 부정 조건을 놓치지 않는 것이 중요하다.
말로 선택 근거를 남긴 뒤 계산하기
학생에게는 계산을 시작하기 전에 다음 순서로 짧게 말하게 한다.
- 조건을 P, 결론을 Q로 구분한다.
- 대우가 “Q가 아니면 P가 아니다”인지 확인한다.
- 부정된 결론을 식으로 나타내는 편이 더 간단한지 판단한다.
- 선택한 이유를 한 줄 적고 중간식을 유지한다.
따라서 위 문제의 답안은 “대우인 n이 홀수이면 n2이 홀수임을 보이는 것이 간단하다”라고 적은 뒤, n = 2k + 1의 전개를 이어 가야 한다. 결과만 적으면 맞힌 경우에도 증명 방법을 판별했는지 확인하기 어렵다.
시간이 부족할 때의 보류와 복귀 기준
귀가 후 과제와 수행평가 준비가 겹치는 주간에는 모든 증명을 처음부터 길게 전개하기보다, 명제의 구조를 먼저 표시한다. 30초 안에 대우의 부정 조건을 식으로 만들 수 있으면 그 방법을 유지하고, 조건과 결론의 부정이 혼동되면 문제 번호 옆에 표시한 뒤 다음 계산으로 넘어간다.
다시 돌아왔을 때는 표시된 P, Q를 기준으로 대우를 한 번 소리 내어 읽고, 빠뜨린 중간식을 채운다. 이 기준이 있으면 시간이 부족해도 결과식만 급히 적는 행동을 줄일 수 있다.
수행평가 자료를 지필 문제로 바꾼 확인
다음 문제를 새로 제시한다.
정수 x에 대하여, x2이 3의 배수이면 x가 3의 배수임을 대우를 이용하여 증명하여라.
대우는 “x가 3의 배수가 아니면 x2도 3의 배수가 아니다”이다. 이때 x가 3의 배수가 아니면 x = 3k + 1 또는 x = 3k + 2로 나누어 써야 한다. 두 경우 모두 제곱의 나머지가 각각 1이므로 3의 배수가 아니다.
학생이 “대우가 더 짧다”고만 쓰지 않고 두 경우의 중간식을 유지하는지, 계산이 어긋났을 때 처음 오류가 난 줄을 스스로 찾아 고치는지 확인한다. 같은 문제의 정답을 다시 쓰는 것보다, 표현과 조건이 바뀐 명제에서 대우 선택과 보류·복귀 기준을 재현하는지가 현재 학습 상태를 판단하는 근거가 된다.