안양동 고3 수학과외: 내적에서 각도까지 연결하는 벡터 풀이
안양동에는 안양여자고등학교, 신성고등학교, 양명고등학교, 성문고등학교를 비롯해 안양예술고등학교·안양외국어고등학교 등 2025년 주소 기준 10개 고등학교가 있다. 귀가 시각과 과제량이 다른 만큼, 고3 학생은 시험 직전에 풀이를 몰아서 하기보다 틀린 계산의 원인을 바로 기록하는 학습 순서가 필요하다.
분모를 빠뜨린 첫 풀이
학생은 벡터 a=(2,-1,2), b=(1,2,2)가 이루는 각을 구하며 먼저 성분의 곱을 계산했다.
a·b=2×1+(-1)×2+2×2=4
그런데 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
cosθ=a·b=4
이 식은 틀린 식이다. 두 벡터의 내적은 각도의 코사인 자체가 아니라 두 벡터의 크기를 곱한 값과 함께 비교해야 한다. 또한 코사인의 값은 -1 이상 1 이하이어야 하는데, 4는 이 범위를 벗어나므로 계산 단계에서 오류를 확인할 수 있다.
성분과 크기를 분리해 수정하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 각 벡터의 성분과 길이의 관계를 다시 확인했다.
- |a|=√(2²+(-1)²+2²)=√9=3
- |b|=√(1²+2²+2²)=√9=3
- a·b=4
따라서 내적 공식에 대입하면
a·b=|a||b|cosθ
4=3×3×cosθ
cosθ=4/9
두 벡터가 이루는 각의 범위를 0≤θ≤π로 정하면 최종 답은 θ=cos-1(4/9)이다. 학생은 계산기를 사용하기 전에 0<4/9<1인지 확인하여 예각이라는 방향 정보도 함께 점검했다. 다시 3×3×(4/9)=4로 역계산해 원래 내적과 일치하는지도 확인했다.
부호를 바꾼 새 조건으로 검증
같은 공식을 그대로 반복하지 않고, 첫 번째 벡터의 두 번째 성분 부호를 바꾼 c=(2,1,-2), d=(1,2,2)를 검증 문제로 삼았다.
c·d=2×1+1×2+(-2)×2=2+2-4=0
또한
|c|=√(4+1+4)=3, |d|=3
이므로
cosφ=(c·d)/(|c||d|)=0/(3×3)=0
따라서 φ=π/2이다. 부호가 바뀌면 내적의 항 하나가 음수가 되어 결과가 달라질 수 있음을 확인했으며, 분모를 빠뜨리지 않고 성분 계산·벡터의 크기·각의 범위를 차례로 검산했다.