석수동고2수학과외, k+1 항을 연결해 등식 증명 완성하기
석수시장이나 석수현대아파트 주변에서 학교와 귀가 동선을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 수학적 귀납법의 계산보다 증명 구조를 점검하는 연습이 필요하다. 충훈고등학교 문제를 공부하더라도 같은 만안구의 안양고등학교·신성고등학교·양명고등학교·성문고등학교를 석수동 소재 학교로 혼동하지 않고, 학교별 자료에서 요구하는 서술 과정을 정확히 남기는 것이 중요하다.
k에서 k+1로 넘어가는 한 줄이 빠진 답안
다음 등식을 모든 자연수 n에 대하여 증명한다고 하자.
1 + 3 + 5 + ⋯ + (4n - 1) = 2n2 + n
학생의 답안에는 다음과 같은 계산이 남아 있었다.
2k2 + k + (4k - 1) = 2(k+1)2 + (k+1)
여기서 왼쪽에 더해야 할 항은 k번째 항인 4k - 1이 아니라 (k+1)번째 항인
4(k+1) - 1 = 4k + 3
이다. 실제로 잘못된 식의 양변을 계산하면 왼쪽은 2k2 + 5k - 1, 오른쪽은 2k2 + 5k + 3이 되어 서로 같지 않다. 또한 양변을 동시에 변형하면 이미 참이라고 가정한 등식을 다른 식으로 바꾼 것인지, k+1에 대한 명제를 증명한 것인지 구분하기 어렵다.
증명해야 할 대상은 P(k+1)이다
먼저 n=k일 때의 명제를 가정한다.
1+3+⋯+(4k-1)=2k2+k
이 식은 k에 대한 가정일 뿐이다. 다음에는 k+1일 때의 합을 별도로 적어야 한다.
1+3+⋯+(4k-1)+[4(k+1)-1]
= (2k2+k)+(4k+3)
= 2k2+5k+3
= 2(k+1)2+(k+1)
마지막 등식은 실제로 전개해서 확인한다.
2(k+1)2+(k+1)=2k2+4k+2+k+1=2k2+5k+3
따라서 초기값 n=1에서 1=2·12+1이 성립하고, k에서 성립한다고 가정했을 때 k+1에서도 성립하므로 주어진 등식은 모든 자연수 n에 대해 참이다.
기호의 뜻을 말한 뒤 한 줄만 바꾸는 훈련
풀이를 시작하기 전 다음 문장을 소리 내어 확인한다.
k+1일 때는 k번째 항 뒤에 (k+1)번째 항을 하나 더한다.
그 설명에 맞춰 반드시 아래 한 줄을 먼저 작성한다.
새로 더할 항 = 4(k+1)-1 = 4k+3
그다음에만 귀납법 가정을 사용한다. 이 순서를 지키면 계수나 부호가 바뀌어도 k번째 항을 그대로 복사하는 오류를 줄일 수 있다.
계수와 표현을 바꾼 식에서 다시 선택하기
이제 다음 명제를 같은 방식으로 확인한다.
2 + 6 + 10 + ⋯ + (4n - 2) = 2n2
k일 때를
2+6+⋯+(4k-2)=2k2
라고 가정하면, k+1번째 항은 4(k+1)-2=4k+2이다. 따라서
2k2+(4k+2)
=2k2+4k+2
=2(k+1)2
가 된다. 여기서 학생이 먼저 해야 할 일은 공식을 외워 쓰는 것이 아니라, 새 항의 번호가 k+1인지 확인하고 그 항을 원래 일반항에 대입하는 것이다. 마지막으로 초기값 n=1에서 2=2·12인지 확인하면 변형된 등식의 증명도 완성된다.