석수동고1수학과외, 접점 조건을 논리적으로 증명하는 법
충훈고등학교의 학교 프린트에서 원과 직선의 접점 조건을 다루던 중, 학생은 그림에 중심과 직선까지의 거리를 표시하지 않은 채 곧바로 연립방정식을 계산했다. 석수시장과 석수현대아파트를 지나 귀가한 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 계산 결과보다 명제의 가정과 결론을 연결하는 문장을 먼저 세우는 연습이 필요했다.
연립 계산보다 먼저 표시해야 할 조건
원 C: (x-2)2+(y+1)2=4의 중심은 O(2,-1), 반지름은 r=2이다. 직선 l: 3x+4y-12=0이 원에 접하는지 판단하려면 중심에서 직선까지의 거리를 구한다.
중심을 직선의 식에 대입하면
|3×2+4×(-1)-12|/√(32+42)=|-10|/5=2
따라서 중심에서 직선까지의 거리는 반지름과 같다. 원과 직선의 위치 관계에서 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같으면 직선은 원에 접한다.
중심 O에서 직선 l까지의 거리는 2이고, 원의 반지름도 2이다. 그러므로 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 조건에 의해 l은 원 C에 접한다.
학생의 답안에서 빠진 논리 고리
학생은 3x+4y-12=0과 원의 방정식을 연립한 뒤 계산을 이어 갔지만, 답안에는 “거리 2”라는 결과와 “접한다”라는 결론 사이의 이유가 적혀 있지 않았다. 계산값 자체가 틀린 것은 아니지만, 명제의 가정인 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 비교가 결론으로 연결되는 단계가 사라진 상태였다.
직접증명에서는 그림에 O(2,-1), 직선 l, 거리 d=2, 반지름 r=2를 표시한 뒤, d=r이라는 관계를 적어야 한다. 그 다음에야 “따라서 접한다”라고 결론을 쓸 수 있다.
접점 좌표로 논리를 다시 확인하기
거리 비교만으로 접선 여부를 판단한 뒤 접점까지 요구된다면 중심에서 직선으로 내린 수선의 발을 구한다. 직선의 계수는 (3,4)이므로 중심 O에서 직선으로 향하는 수선 방향을 이용하면 접점은
(x,y)=(2,-1)-{(3×2+4×(-1)-12)/25}(3,4)
=(2,-1)-(-2/5)(3,4)=(16/5,3/5)
이다. 실제로 이 점은 직선에 대해
3×16/5+4×3/5-12=0
을 만족하고, 원에 대해서도
(16/5-2)2+(3/5+1)2=(6/5)2+(8/5)2=4
를 만족한다. 점의 좌표를 쓸 때에는 (x,y) 순서를 유지해야 하며, 계산한 점을 두 식에 각각 대입하면 좌표와 결론을 함께 검산할 수 있다.
서술형 답안에 남길 짧은 증명 틀
- 원의 중심과 반지름을 확인한다.
- 중심을 직선의 거리 공식에 대입하여 중심과 직선 사이의 거리 d를 구한다.
- d와 반지름 r을 비교한다.
- d=r이면 직선과 원이 한 점에서 만나므로 접한다고 결론을 적는다.
- 접점이 필요하면 좌표를 (x,y) 순서로 쓰고 원과 직선에 각각 대입한다.
이 순서를 별도 표시로 답안에 남기면 학생이 거리 계산 직후 다음 줄로 넘어가는 습관을 줄일 수 있다. 풀이가 끝난 문제를 복습 목록에서 뺄 때에도 계산 결과만 맞았는지가 아니라 이 논리 단계가 실제로 적혔는지를 확인해야 한다.
조건을 바꾼 문제에서 확인한 적용
새로운 원 (x+1)2+(y-3)2=16과 직선 3x+4y-29=0을 제시했다. 중심은 O(-1,3), 반지름은 4이므로 학생이 먼저 좌표를 (x,y) 순서로 읽고 위치를 확인하는지 관찰한다.
중심에서 직선까지의 거리는
|3×(-1)+4×3-29|/5=|-20|/5=4
이다. 따라서 거리와 반지름이 모두 4이므로 이 직선은 원에 접한다. 접점은
(-1,3)-(-20/25)(3,4)=(7/5,31/5)
이고, 이 좌표는 직선과 원의 방정식에 각각 대입해 확인할 수 있다. 학생이 도움 없이 중심과 반지름을 찾고, 거리와 반지름을 비교한 뒤, 빠진 논리 문장을 직접 작성했다면 새로운 조건에서도 증명 절차가 이어진 것으로 판단한다.