석수동 고3수학과외에서 확인한 벡터 내적과 불가능한 배치
충훈고등학교 통학 후 석수시장과 석수현대아파트 생활권을 지나 귀가하는 학생은 방과 후 자습시간에 풀이 과정을 다시 점검했다. 이번에는 벡터의 성분이 달라지고 도형의 배치 조건도 바뀐 문항에서, 앞 문제의 결론을 그대로 적용한 것이 오답의 원인이었다.
수직 조건을 확인하지 않아 생긴 오답
점 A(1,2), B(5,4), C(t,6-t)가 있고 AB와 AC가 수직이며 0≤t≤3이라고 하자.
학생은 앞 문제에서 구한 값의 범위를 그대로 사용해 다음과 같이 적었다.
학생의 오답: t=2이므로 C(2,4)이다.
이 식은 새 문항의 수직 조건을 확인하지 않았으므로 틀렸다. 실제로
AB=(4,2), AC=(t-1,4-t)
이고, 수직인 두 벡터의 내적은 0이어야 한다.
(4,2)·(t-1,4-t)=0
4(t-1)+2(4-t)=0
2t+4=0
따라서 t=-2이다. 그러나 문제의 범위가 0≤t≤3이므로 조건을 만족하는 t는 없다. 즉 이 도형 배치는 가능한 후보가 없는 경우다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 역검산한 과정
- 틀린 줄 표시: 앞 문제의 결론인 t=2를 새 조건에 대입하지 않고 사용한 부분에 밑줄을 그었다.
- 관계 확인: 수직이면 반드시 AB·AC=0이라는 규칙을 식 옆에 적었다.
- 식 수정: 좌표에서 두 벡터를 다시 만들고 내적식을 세웠다.
- 범위 확인: 계산 결과 t=-2가 나왔지만 제시 범위에 포함되지 않으므로 해가 없다고 결론 냈다.
- 역검산: t=-2를 대입하면 AB·AC=0이지만, t=2를 대입하면 AB·AC=8이므로 수직이 아님을 확인했다.
그래프에서도 C(t,6-t)는 직선 위에서 0≤t≤3 구간만 움직인다. 내적값은 2t+4이므로 이 구간에서 항상 양수이고 0을 지나지 않는다. 계산 결과와 그래프의 범위가 모두 해의 부재를 가리키는지 대조한 것이다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 p=(1,2), q=(x,5-x), 0≤x≤12로 바꾸고 두 벡터가 이루는 각을 판단했다.
p·q=(1,2)·(x,5-x)=x+2(5-x)=10-x
- 0≤x<10이면 내적이 양수이므로 예각이다.
- x=10이면 내적이 0이므로 수직이다.
- 10<x≤12이면 내적이 음수이므로 둔각이다.
새 범위에서는 경계값 x=10이 실제로 포함되어 수직인 경우가 생기고, 그 오른쪽에서는 예각에서 둔각으로 바뀐다. 학생은 문제마다 성분, 범위, 수직 조건을 먼저 확인한 뒤 내적의 부호를 계산해야 같은 오답을 반복하지 않는다.