비산동고2수학과외, 귀납가정을 계산 줄에 정확히 넣는 연습
비산동에서 부흥고등학교와 경기게임마이스터고등학교의 수업·방과후 일정을 마친 뒤에는 긴 공부 시간보다 한 문제의 풀이 줄을 다시 추적하는 시간이 중요할 때가 있다. 특히 비산한화꿈에그린아파트처럼 귀가 동선을 고려해 짧게 확보한 자습 시간에도 수학적 귀납법은 계산 과정의 연결을 확인하며 공부할 수 있다.
귀납가정이 빠진 채 정리된 한 줄
다음 명제를 증명한다고 하자.
1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2
학생의 오답표에는 귀납단계가 다음처럼 남아 있었다.
1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2
오른쪽 결과 자체는 맞지만, 왼쪽의 앞부분을 왜 k^2로 바꿀 수 있는지가 적혀 있지 않다. 귀납가정
1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^2
을 사용하지 않은 채 (k+1)^2를 바로 적었으므로, 이는 계산 실수라기보다 귀납가정이 필요한 위치를 놓친 증명 누락이다.
앞줄을 지우지 말고 조건을 옆에 세우기
기초 단계에서는 n=1일 때 1=1^2를 확인한다. 그다음 n=k에서 명제가 참이라고 가정하고, 오답이 발생한 줄을 그대로 살려 다음과 같이 고친다.
1+3+\cdots +(2k-1)+(2k+1)
=\underbrace{(1+3+\cdots +(2k-1))}_{\text{귀납가정 }=k^2}+(2k+1)
=k^2+2k+1=(k+1)^2
이때 k는 자연수라는 조건도 함께 남겨야 한다. k번째까지의 합을 알고 있다는 귀납가정이 앞부분에 실제로 적용되었기 때문에, 이제 k+1번째 명제가 성립한다. 따라서 모든 자연수 n에 대해 주어진 등식이 참이다.
결과에서 항번호 조건을 거꾸로 찾기
새로운 조건으로 다음을 확인한다.
1+3+5+\cdots +(2n-1)=81일 때 자연수 n을 구하여라.
앞서 증명한 관계를 사용하면 n^2=81이다. 따라서 n=9 또는 n=-9가 나오지만, 항번호는 자연수이므로 n=9만 가능하다. 실제 마지막 항도 2n-1=17이고, 1+3+\cdots +17=81로 조건이 맞는다.
이 문제에서는 결론인 n^2=81만 계산하는 것으로 끝내지 않고, 그 결론을 만들 수 있는 항번호의 범위를 거꾸로 확인해야 한다. 다음 귀납 문제를 풀 때도 귀납단계의 첫 줄을 남긴 뒤, 앞부분 위에 귀납가정과 자연수 조건을 직접 표시하는지를 확인한다.