비산동고1수학과외, 집합 포함관계로 필요조건과 충분조건 읽기
비산동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 명제의 문장보다 조건의 방향을 먼저 그림으로 바꾸는 연습이 필요하다. 부흥고등학교와 경기게임마이스터고등학교가 지역 내 학교이고, 평촌고·동안고·관양고는 같은 동안구의 참고 학교이므로 학교별 출제 경향을 단정하기보다 어느 학교의 프린트에서도 재현할 수 있는 판단 과정을 익히는 데 초점을 둔다.
말보다 먼저 그려야 하는 p→q의 방향
명제 p→q는 “p이면 q이다”라는 뜻이다. 이를 집합으로 나타내면 p를 만족하는 원소들의 집합을 P, q를 만족하는 원소들의 집합을 Q라 할 때
P ⊂ Q
가 된다. 즉 화살표는 P에서 Q로 향한다. 따라서 p는 q의 충분조건이고, q는 p의 필요조건이다.
p→q : P ⊂ Q
p는 q이기 위한 충분조건
q는 p이기 위한 필요조건
예를 들어 정수 x에 대하여 p를 “x는 6의 배수이다”, q를 “x는 3의 배수이다”라고 하자. 6의 배수 전체는 3의 배수 전체 안에 들어가므로 P ⊂ Q이다. 따라서 “6의 배수”는 “3의 배수”가 되기 위한 충분조건이고, “3의 배수”는 “6의 배수”가 되기 위한 필요조건이다.
필요·충분이라는 단어만 보고 뒤집은 답안
수업 자료에서 학생은 p→q 화살표를 적지 않은 채 “p는 필요조건, q는 충분조건”이라고 작성했다. 문장의 어휘는 알고 있었지만 조건을 집합으로 연결하지 않아 방향을 반대로 판단한 것이다. 이 오류는 계산 실수라기보다 집합 포함관계와 표현을 연결하지 못한 개념·표현 오류로 구분할 수 있다.
다음 명제를 같은 방식으로 확인해 보자.
p: x는 12의 배수이다.
q: x는 4의 배수이다.
12의 배수는 4의 배수이므로 P ⊂ Q이다. 화살표는 p에서 q로 그려야 한다. 그러므로 p는 q의 충분조건이다. 반대로 q만으로는 반드시 12의 배수라고 할 수 없으므로 q는 p의 필요조건이지만 충분조건은 아니다.
화살표와 해집합을 한 줄에 함께 남기기
문제를 풀 때 “필요”와 “충분”이라는 말을 먼저 떠올리지 않고, 다음처럼 답안 여백에 구조를 적는다.
- p→q
- P ⊂ Q
- 작은 해집합의 조건 p는 충분조건
- 큰 해집합의 조건 q는 필요조건
예를 들어 “x>5이면 x>2이다”에서는 P={x|x>5}, Q={x|x>2}이다. 수직선에서 P가 Q 안에 포함되므로 P⊂Q이고, x>5는 x>2의 충분조건이다. 이때 x>2는 필요조건이지만, 3처럼 2보다 크면서 5보다 크지 않은 수가 있으므로 충분조건은 아니다.
회전한 도형에서도 근거를 먼저 말하는지 확인하기
훈련한 문제를 그대로 다시 풀게 하지 않고, 도형의 위치를 회전한 그림으로 바꾸어 판단하게 한다. 큰 원 안에 작은 원이 들어 있는 그림에서 작은 원의 내부를 P, 큰 원의 내부를 Q라고 표시하면 그림이 오른쪽으로 회전되어 있어도 관계는 변하지 않는다.
학생이 먼저 “작은 원의 모든 원소가 큰 원에 포함되므로 P⊂Q, 따라서 p→q이다”라고 말한 뒤 답을 쓰는지 확인한다. 정답인 “p는 충분조건, q는 필요조건”만 말하고 포함관계를 설명하지 못한다면 표현 방식이 바뀌었을 때 다시 반대로 연결할 가능성이 있다.
비산동의 짧은 자습시간에 남길 한 문장
통학과 방과후 이동 뒤 시간이 짧더라도 문제 한 개를 풀고 “어느 집합이 안에 들어가는가, 화살표는 어디로 가는가, 그래서 어느 조건이 필요·충분한가”를 순서대로 기록한다. 다음 문제에서는 교사의 질문 없이 회전된 도형이나 문장 순서가 바뀐 명제를 보고도 먼저 P⊂Q 또는 Q⊂P를 판단하는지 살핀다. 답보다 그 근거를 먼저 말할 수 있어야 포함관계가 실제 조건 판단으로 이어진 것이다.