비산동 고3수학과외, 위치벡터의 기준점을 먼저 확인하기
부흥고등학교와 경기게임마이스터고등학교가 있는 비산동 생활권에서 방과후 이동 후 자습 시간을 확보한 학생은 최근 위치벡터 문제에서 계산보다 기준점 해석을 먼저 점검하는 연습을 했다. 비산동 안양천 주변이나 비산한화꿈에그린아파트 인근에서 귀가한 뒤 풀이를 다시 살펴보며, 해설의 결론을 옮기는 대신 각 벡터가 어느 점에서 출발하는지 표시했다.
점 P의 위치벡터와 구간벡터는 다르다
원점을 O라 하고, 점 A, B의 위치벡터가 각각
\(\overrightarrow{OA}=(2,-1),\quad \overrightarrow{OB}=(8,5)\)
이며, P가 선분 AB를 AP:PB=1:2로 내분한다고 하자. 이때 내분점 공식에 따라
\(\overrightarrow{OP}=\dfrac{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{3} =\dfrac{2(2,-1)+(8,5)}{3}=(4,1)\)
이다. 실제로
\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(4,1)-(2,-1)=(2,2)\)
이고
\(\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}=(8,5)-(4,1)=(4,4)\)
이므로 \(\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=1:2\)가 성립한다.
잘못 시작한 줄을 찾아 방향 판정을 고치기
학생의 오답: \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AP}=(2,2)\)
이 식은 틀렸다. \(\overrightarrow{OP}\)는 원점 O에서 P까지의 벡터이고, \(\overrightarrow{AP}\)는 A에서 P까지의 벡터이므로 출발점이 다르다. 학생은 A의 위치벡터를 빼는 과정을 생략하고, 구간벡터 \(\overrightarrow{AP}\)를 곧바로 위치벡터로 사용했다.
수직선과 좌표평면에 O, A, P, B를 표시한 뒤 다음 관계를 적게 했다.
- 위치벡터: \(\overrightarrow{OP}=\mathbf p\)
- 구간벡터: \(\overrightarrow{AP}=\mathbf p-\mathbf a\)
- 내분조건: \(\mathbf p-\mathbf a=2(\mathbf b-\mathbf p)\)
따라서
3\mathbf p=\mathbf a+2\mathbf b,\quad \mathbf p=\dfrac{\mathbf a+2\mathbf b}{3}=(6,3)
가 아니라, 이 문제의 비율이 \(AP:PB=1:2\)일 때는 P가 A에서 B 쪽으로 \(1/3\)만큼 이동하므로
\(\mathbf p=\mathbf a+\dfrac13(\mathbf b-\mathbf a) =\dfrac{2\mathbf a+\mathbf b}{3}=(4,1)\)
이다. 학생이 적은 \(3\mathbf p=\mathbf a+2\mathbf b\)는 \(AP:PB=2:1\)일 때의 식이므로 현재 조건과도 맞지 않는다.
방향 판정에 사용할 벡터를 \(\mathbf v=(1,-2)\)로 두면 정확한 내적은
\(\overrightarrow{OP}\cdot\mathbf v=(4,1)\cdot(1,-2)=4-2=2>0\)
이다. 반면 오답인 \((2,2)\)를 대입하면 \(-2\)가 되어 방향 판정이 반대로 바뀐다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 조건의 비율과 벡터의 출발점을 확인하고 식을 다시 세운 다음 내적과 좌표를 각각 대입해 검산했다.
계수를 바꾼 독립 검증
이번에는 \(\overrightarrow{OA}=(1,4)\), \(\overrightarrow{OB}=(7,-2)\), \(AP:PB=2:3\)인 점 Q를 확인했다.
Q는 A에서 B 방향으로 \(2/5\)만큼 이동하므로
\(\overrightarrow{OQ}=\dfrac{3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}5 =\dfrac{3(1,4)+2(7,-2)}5=(\frac{17}{5},\frac85)\)
이다. 직접 계산하면
\(\overrightarrow{AQ}=(\frac{12}{5},-\frac{12}{5}),\quad \overrightarrow{QB}=(\frac{18}{5},-\frac{18}{5})\)
이므로 두 벡터의 길이 비는 \(2:3\)이다. 위치벡터 \(\overrightarrow{OQ}\)를 \(\overrightarrow{AQ}\)로 바꾸어 쓰지 않았고, 새 계수에서도 조건과 방향을 함께 검산했다.