박달동고2수학과외에서 점검하는 수학적 귀납법 등식 증명
수학적 귀납법의 등식 증명에서는 계산 결과보다 각 줄이 무엇을 근거로 나왔는지가 중요하다. 박달동의 안양고등학교처럼 학교와 주거지의 이동 거리에 따라 공부 시간이 달라질 수 있어도, 짧은 풀이를 남길 때 증명 단계를 생략하면 독립 풀이에서 같은 오류가 반복된다.
귀납법의 두 단계가 빠진 풀이
다음 명제를 증명한다고 하자.
명제: 모든 자연수 n에 대하여
1+3+5+⋯+(2n-1)=n2
먼저 n=1일 때
1=12
이므로 성립한다.
이후 학생의 여백에는 다음처럼 적혀 있었다.
1+3+⋯+(2k-1)+(2k+1) = k2+(2k+1) = (k+1)2
계산 자체는 맞지만, 첫 번째 등호가 왜 가능한지 앞줄의 귀납 가정이 빠져 있다. 또한 양변을 동시에 변형하는 방식으로
1+3+⋯+(2k-1)+(2k+1) = k2+(2k+1) = (k+1)2
만 남기면, 원래 k에 대한 등식에서 k+1에 대한 등식으로 넘어가는 근거가 흐려진다. 등식의 양변을 같은 방식으로 바꾸는 계산과, 귀납 가정을 이용해 새로운 항을 추가하는 증명은 구분해야 한다.
k에서 k+1로 넘어가는 한 줄을 분리하기
귀납 가정은 다음처럼 따로 적는다.
1+3+⋯+(2k-1)=k2
그다음 k+1번째 항을 왼쪽에 추가한다.
1+3+⋯+(2k-1)+(2k+1)
= k2+(2k+1) (귀납 가정 사용)
= k2+2k+1
=(k+1)2
따라서 n=k일 때 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 성립한다. 기초 단계와 계승 단계가 모두 확인되었으므로 모든 자연수 n에 대해 명제가 성립한다.
풀이를 고칠 때는 틀린 줄과 수정한 줄을 나란히 놓고, 달라진 기호 하나를 표시하게 한다.
| 생략된 풀이 | 수정한 풀이 |
|---|---|
| ⋯+(2k+1)=k2+(2k+1) | ⋯+(2k-1)=k2라는 귀납 가정에 따라 ⋯+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1) |
문자를 숫자로 바꿔 귀납 가정의 역할 확인하기
문자식의 연결이 실제 계산에서도 유지되는지 다음 식으로 확인한다.
2+4+6+⋯+2n=n(n+1)
n=4일 때 왼쪽은
2+4+6+8=20
이고 오른쪽은
4×5=20
이다.
n=4에서 n=5로 갈 때는 기존 합 20에 새 항 10을 더해야 한다.
2+4+6+8+10 = 4×5+10 = 30 = 5×6
이 계산에서 4×5를 바로 5×6으로 바꾼 것이 아니라, n=4에서 성립한 합에 새 항 10을 더한 뒤 5×6과 같음을 확인했다. 이 순서를 답안에 남겨야 귀납 가정과 다음 단계의 관계가 드러난다.
박달동고2수학과외 학습에서는 짧은 시간에 풀이를 끝내는 것보다, 기초 단계·귀납 가정·새 항 추가·정리의 네 부분이 실제 답안에 남아 있는지를 확인하는 것이 우선이다.