박달동 고3 수학과외에서 내적의 방향 판정 다시 세우기
박달동에서 공부하는 고3 학생은 안양고등학교 통학 시간과 주거지 이동 시간에 따라 자습량이 달라질 수 있어, 긴 풀이를 반복하기보다 한 줄의 기호가 조건과 맞는지 확인하는 방식으로 학습을 조정했다. 같은 만안구의 신성고등학교·충훈고등학교·양명고등학교·성문고등학교는 참고 생활권으로만 구분하고, 학교별 시험 경향은 임의로 전제하지 않았다.
벡터의 내적에서 멈춰야 했던 지점
문제는 벡터 a=(2, -1), b=(3, 4)에 대하여 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구하는 것이었다. 학생은 성분 계산까지는 정확히 진행했다.
a·b=2×3+(-1)×4=2
|a|=√(22+(-1)2)=√5, |b|=√(32+42)=5
하지만 다음 줄에서 내적값을 벡터처럼 취급해
a·b=(2, -1)·(3, 4)=2
라고 쓴 뒤, 방향을 판정하는 과정에서 “내적이 양수이므로 두 벡터의 합이 양의 방향”이라고 결론냈다. 이 결론은 틀렸다. 내적 a·b는 성분을 가진 벡터가 아니라 하나의 실수인 스칼라다. 따라서 내적의 부호로 판단할 수 있는 것은 두 벡터가 이루는 각이 예각인지, 직각인지, 둔각인지이며, 벡터의 방향 자체를 정하는 것은 아니다.
틀린 기호를 표시하고 관계를 수정한 풀이
학생은 오답 줄에서 벡터처럼 사용한 부분에 네모 표시를 했다.
오답: a·b=(2, -1)·(3, 4)=2 → 내적의 방향은 양의 방향
먼저 내적의 결과가 스칼라라는 조건을 적고, 두 벡터의 방향 판정에 필요한 관계를 다시 연결했다.
a·b=|a||b|cosθ
따라서
cosθ=2/(5√5)=2√5/25
내적이 2>0이므로 cosθ>0이고, 0<θ<π/2이다. 즉 두 벡터가 이루는 각은 예각이다. ‘양의 방향’이라는 표현은 삭제하고 ‘예각을 이룬다’로 고쳤다.
마지막에는 역검산도 했다.
5√5×(2/(5√5))=2
처음 계산한 내적값으로 돌아오므로 수정된 식이 원관계와 일치한다. 또한 |a·b|=2≤|a||b|=5√5이므로 내적의 크기 조건도 만족한다.
조건을 바꾼 독립 검증
직전 예제를 보지 않고 u=(4, -3), v=(-2, 1)에 대해 두 벡터의 방향 관계를 판단하게 했다.
u·v=4×(-2)+(-3)×1=-11
내적은 -11이라는 스칼라이므로 벡터로 표시하지 않는다. 내적이 음수이므로 cosθ<0, 따라서 두 벡터가 이루는 각은 둔각이다.
학생은 네모칸에 내적 결과는 스칼라, 음수이면 둔각이라고 적은 뒤, |u·v|=11≤√25√5=5√5가 성립하지 않음을 확인했다. 이 계산에서 11≤5√5가 거짓이므로 수치를 다시 점검했고, 실제로 √25=5, √5≈2.236이어서 5√5≈11.18임을 확인했다. 내적의 크기 조건까지 통과하면서, 해설의 결론을 따라 쓰지 않고 기호·조건·검산을 독립적으로 연결하는 풀이로 수정되었다.