박달동고1수학과외: ∪·∩ 조건을 부정하는 드모르간 법칙
명제의 부정에서 괄호 안에 있는 기호를 그대로 둔 채 여집합 기호만 붙이면 답이 달라진다. 특히 ‘그리고’와 ‘또는’이 섞인 조건은 기호의 변화까지 함께 처리해야 한다.
여집합 기호만 붙인 풀이에서 생긴 오류
학교 프린트에서 전체집합을 U, 두 조건을 A, B라고 할 때 다음 명제를 부정한다고 하자.
명제: x∈A∪B
학생은 풀이 첫 줄에 부정 조건을 따로 정리하지 않고, 다음처럼 작성했다.
¬(x∈A∪B) → x∈Ac∪Bc
여집합 기호는 붙였지만 괄호 안의 ∪를 그대로 둔 것이 문제다. 실제로는
¬(x∈A∪B) ⇔ x∈Ac∩Bc
이다. ‘A 또는 B에 속한다’의 부정은 ‘A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않는다’이므로 ∪가 ∩로 바뀐다.
기호 변화가 필요한 이유를 원소로 확인하기
U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3}, B={3,4}라고 하자. 그러면
A∪B={1,2,3,4}이므로 (A∪B)c={5}이다.
한편 Ac={4,5}, Bc={1,2,5}이므로
Ac∩Bc={5}이다. 반대로 잘못 적은 Ac∪Bc={1,2,4,5}는 원래 부정의 결과와 다르다.
교집합도 같은 방식으로 바뀐다.
¬(x∈A∩B) ⇔ x∈Ac∪Bc
‘A이면서 B이다’가 거짓이 되려면 A가 아니거나 B가 아니면 충분하기 때문이다.
풀이 앞뒤에 같은 점검을 배치하기
이 학생에게는 풀이 전과 풀이 후에 다음 행동을 고정했다.
- 풀이 전: 괄호 안의 ∪ 또는 ∩를 확인하고 부정 뒤에 반대 기호를 표시한다.
- 풀이 후: 완성된 식에서 ∪와 ∩의 변화가 실제 부정 의미와 맞는지 다시 읽는다.
예를 들어 ¬(P∩Q)를 만나면 먼저 ¬P∪¬Q로 바꾼 뒤, 각 조건의 부정을 계산한다. P: x>2, Q: x≤7이라면
¬(P∩Q)는 x≤2 또는 x>7이다. 여기서 ¬Q가 x>7이 되는 것도 함께 확인해야 한다.
박달동 생활 리듬에 맞춘 적용 확인
박달동의 안양고등학교까지 이동 시간과 귀가 뒤 확보되는 시간이 학생마다 다르므로, 짧은 학습 시간에는 한 문제를 풀고 기호 변화만 말로 설명하는 방식이 적합하다. 박달우성아파트 등 주거지에서 학교나 학습 공간까지 이동하는 시간이 긴 경우에도 풀이 전체보다 ‘부정 표시 전후의 ∪·∩ 확인’을 기록하게 할 수 있다.
안양고등학교는 박달동 내 학교이고, 신성고등학교·충훈고등학교·양명고등학교·성문고등학교는 같은 만안구의 참고 학교이므로 소재지를 혼동하지 않도록 구분한다.
조건이 바뀐 문항에서 확인한 풀이 태도
훈련 뒤에는 전개도의 면 배치를 바꾼 문제를 제시해 즉시 답을 알려주지 않았다. 이 검사는 드모르간 법칙의 계산 자체가 아니라, 낯선 문제에서 문항에 머무를 시간을 지키고 막히면 보류한 뒤 해결 가능한 뒤 문제로 이동하는지를 확인하기 위한 것이다.
이후 수행평가와 지필평가에서 공통으로 다루는 ‘조건을 기호로 바꾸고, 바뀐 조건을 끝까지 확인하는 과정’을 연결해 기록한다. 명제 부정 문제에서는 ∪·∩ 변화를 빠뜨리지 않고, 낯선 형식의 문제에서는 풀이 순서를 스스로 조절했을 때 해당 학습 과정을 이어 간 것으로 본다.