관양동 고2수학과외에서 살펴본 귀납가정의 정확한 사용 위치
관양동에는 관양고등학교·인덕원고등학교·평촌경영고등학교가 있고, 같은 동안구의 평촌고등학교와 부흥고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있지만, 수학적 귀납법에서는 짧은 풀이에서도 기호의 역할을 분명히 남겨야 한다.
k+1식을 먼저 정리하면 귀납가정이 사라진다
다음 명제를 증명한다고 하자.
1+2+3+…+n = n(n+1)/2 는 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.
첫째, n=1일 때 좌변과 우변은 각각 1이므로 성립한다. 이제 n=k에서 성립한다고 가정하면
1+2+…+k = k(k+1)/2
이다. 이 식이 바로 다음 단계에서 사용할 귀납가정이다.
관찰된 풀이에서는 여백에 이 가정과 첫 단계 표시를 남기지 않은 채 다음처럼 시작했다.
1+2+…+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2
이 줄은 결론을 먼저 적은 것이며, 좌변의 앞부분을 어떤 식으로 바꾸었는지 드러나지 않는다. 귀납가정은 k+1을 대입하는 공식이 아니라, 1+2+…+k 부분을 k(k+1)/2로 치환할 때 사용한다.
처음 어긋난 기호 아래에 중간식을 다시 쓰기
풀이의 첫 줄에서 k+1 항만 정리하려 하지 말고, 귀납가정을 사용할 위치에 표시한다.
1+2+…+k+(k+1)
↑ 귀납가정 사용: 1+2+…+k = k(k+1)/2
따라서
1+2+…+k+(k+1)
= k(k+1)/2 +(k+1)
= (k+1)(k/2+1)
= (k+1)(k+2)/2
처럼 적어야 한다. 첫 번째 줄에서 귀납가정이 실제로 쓰였는지 확인할 수 있고, 마지막 식은 k+1일 때의 명제가 된다. 이처럼 기초 단계와 귀납 단계의 성립 범위를 분리해야 증명이 완성된다.
시작항이 바뀌면 귀납가정의 범위도 함께 바꾼다
같은 구조를 다음 문제에 적용한다.
3+5+7+…+(2n+1)=n(n+2) 을 n≥1에서 증명하라.
n=1에서는 좌변이 3이고 우변이 1×3=3이다. 귀납가정을
3+5+…+(2k+1)=k(k+2)
로 둔다. k+1번째 식의 마지막 항은 2(k+1)+1=2k+3이므로, 귀납가정은 다음 위치에서 사용된다.
3+5+…+(2k+1)+(2k+3)
= k(k+2)+(2k+3)
= k²+4k+3
= (k+1)(k+3)
그런데 k+1을 명제의 우변에 넣으면
(k+1)((k+1)+2)=(k+1)(k+3)
이므로 정확히 일치한다. 시작항과 일반항이 달라졌을 때도 귀납가정을 무조건 같은 위치에 복사하지 않고, k번째 항까지의 합을 먼저 찾아 치환해야 한다.