관양동고1수학과외, 필요충분조건의 두 방향을 식으로 확인하기
명제에서 “필요충분조건”이라고 적혀 있으면 한쪽 방향만 계산하고 넘어갈 수 없다. 예를 들어 서로 다른 두 직선 \(l,m\)이 직선 \(t\)와 만날 때, 두 직선이 평행하다는 조건을 \(P\), 동위각의 크기가 같다는 조건을 \(Q\)라고 하자.
\(P\Rightarrow Q\)는 \(l\parallel m\)일 때 동위각의 크기가 같음을 보이는 방향이다. 반대로 \(Q\Rightarrow P\)는 동위각의 크기가 같다면 \(l\parallel m\)임을 보이는 방향이다. 두 명제가 모두 성립할 때에만 \(P\Longleftrightarrow Q\), 즉 “\(P\)이기 위한 필요충분조건은 \(Q\)”라고 쓸 수 있다.
계산줄로 바로 넘어가며 빠진 논리
관양고등학교와 인덕원고등학교처럼 관양동 안에 있는 학교의 프린트를 복습하던 중, 한 학생은 다음 문제의 조건표에서 ‘필요충분조건 두 방향 확인’ 칸을 표시하지 않고 곧바로 결론을 적었다.
명제 \(P\): \(l\parallel m\), 명제 \(Q\): 동위각의 크기가 같다.
학생의 답안: \(l\parallel m\)이면 동위각이 같으므로 \(P\Rightarrow Q\). 따라서 \(P\)는 \(Q\)이기 위한 필요충분조건이다.
이 답안에서 확인한 것은 \(P\Rightarrow Q\) 하나뿐이다. 따라서 \(P\)가 \(Q\)의 충분조건이라는 사실은 알 수 있지만, \(P\)가 필요조건인지까지는 결정되지 않는다. \(Q\Rightarrow P\)를 확인하지 않은 채 필요충분조건이라고 결론 내린 것이 오답의 위치다.
빠진 줄을 표시한 뒤 반대 방향을 채운다
먼저 답안의 \(P\Rightarrow Q\) 아래에 빈 줄을 표시한다. 그 줄에는 “동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행한가?”를 적는다. 실제로 \(Q\)가 성립하고 \(l,m\)이 평행하지 않다고 가정하면, 직선 \(t\)와의 교점에서 만들어지는 동위각은 같을 수 없다. 따라서 동위각이 같다는 조건은 \(l\parallel m\)을 이끌어 낸다.
그러므로
\[ P\Rightarrow Q,\qquad Q\Rightarrow P \]
가 모두 성립하고, 최종 결론은
\[ P\Longleftrightarrow Q \]
이다. 답안에는 “\(P\)는 \(Q\)의 필요조건이면서 충분조건” 또는 “\(P\)이기 위한 필요충분조건은 \(Q\)”라고 써야 한다. 한 방향만 적은 경우에는 필요조건과 충분조건 중 하나만 확인한 상태로 분류한다.
필요조건과 충분조건을 말로 바꾸어 점검하기
학생이 방향을 혼동할 때에는 기호를 문장으로 바꾼다. \(P\Rightarrow Q\)는 “\(P\)이면 반드시 \(Q\)이다”라는 뜻이므로 \(P\)는 \(Q\)의 충분조건이고, \(Q\)는 \(P\)의 필요조건이다. 반대 방향 \(Q\Rightarrow P\)까지 성립해야 서로 필요충분조건이 된다.
예를 들어 \(x=3\)이면 \(x^2=9\)이지만, \(x^2=9\)라고 해서 \(x=3\)인 것은 아니다. \(x=-3\)도 가능하므로 이 경우에는 두 방향이 성립하지 않는다. 이처럼 한 방향의 계산 결과를 얻은 즉시 필요충분조건이라고 쓰지 않고, 조건의 위치를 바꾸어 다시 읽는 습관이 필요하다.
표와 그림이 바뀌어도 성질을 직접 고르는지 확인
관양동의 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 만큼, 관양고등학교 프린트를 학교에서 바로 복습하는 학생과 귀가 후 짧은 시간에 정리하는 학생의 점검 방식도 달라질 수 있다. 다만 풀이에서 확인할 기준은 동일하다. 표의 단위나 그림의 배치가 바뀌어도 먼저 주어진 조건과 결론을 각각 표시해야 한다.
새 자료에서 두 직선이 평행하다는 표시와 한 쌍의 동위각이 \(68^\circ\)로 같다는 정보가 함께 제시되었다면, “평행이므로 동위각이 같다”와 “동위각이 같으므로 평행이다” 중 어느 방향을 묻는지 구분한다. 길이 \(5\text{ cm}\), \(8\text{ cm}\) 같은 수치가 추가되어도 필요충분조건 판단에 사용되는 것은 평행 관계와 각의 관계인지 먼저 골라야 한다.
검증할 때는 정답만 보지 않고 학생에게 “어디서 막혔는가?”를 한 문장으로 쓰게 한다. 예를 들어 “\(P\Rightarrow Q\)만 적고 \(Q\Rightarrow P\)를 확인하지 않은 줄에서 막혔다”라고 표현했다면, 그림의 위치와 표의 단위가 달라진 문제에서도 두 방향을 직접 표시하고 필요한 성질을 선택하는지 확인할 수 있다.