기준점을 바꾸면 위치벡터의 성분도 다시 정해야 한다
관양동 고3수학과외에서 확인한 한 학생의 풀이에서는 계산력보다 위치벡터의 기준점과 성분의 관계를 먼저 점검할 필요가 있었다. 관양고등학교, 인덕원고등학교, 평촌경영고등학교처럼 지역 내 학교에 다니는 학생도 통학 거리와 하루 공부 가능 시간이 다르므로, 짧은 풀이를 하더라도 조건을 독립적으로 확인하는 습관이 중요하다.
벡터와 위치벡터를 구분한 풀이
좌표평면의 원점을 O라 하고 점 A(1, 2), B(4, -2)가 주어졌다고 하자. 원점 기준 위치벡터는
벡터 OA = (1, 2), 벡터 OB = (4, -2)
이며, 점 A에서 점 B로 향하는 벡터는 끝점과 시작점의 차이이므로
벡터 AB = 벡터 OB - 벡터 OA = (4, -2) - (1, 2) = (3, -4)
이다. 위치벡터는 기준점에 따라 달라지지만, 같은 두 점을 잇는 자유벡터 AB의 성분은 기준점을 옮겨도 변하지 않는다.
학생의 오답: 기준점을 O에서 A로 바꾼 뒤에도 점 B의 위치벡터를 AB = (4, -2)로 적었다.
이 식은 틀린 식이다. (4, -2)는 원점 O를 기준으로 한 점 B의 위치벡터이고, 기준점이 A로 바뀌면 A를 새로운 원점으로 보아 B의 좌표를 다시 계산해야 한다. 따라서 새 기준점 A에서 본 B의 위치벡터는
벡터 AB = (4 - 1, -2 - 2) = (3, -4)
이다. 기준점의 변화 없이 성분을 그대로 옮긴 것이 오답의 원인이다.
틀린 줄부터 다시 검산하는 과정
- 틀린 줄 표시: 기준점을 A로 바꾼 뒤에도 AB = (4, -2)라고 쓴 부분에 표시한다.
- 조건 확인: 위치벡터는 기준점에서 출발하므로 새 기준점이 A이면 A의 좌표를 빼야 한다. 반면 벡터 AB는 B의 좌표에서 A의 좌표를 뺀 값이다.
- 식 수정: AB = OB - OA = (4, -2) - (1, 2) = (3, -4)로 고친다.
- 역계산: A(1, 2)에 (3, -4)를 더하면 (1+3, 2-4) = (4, -2)가 되어 B의 좌표가 복원된다.
또한 두 점을 잇는 방향이 반대라면 BA = -AB = (-3, 4)이다. 성분의 부호는 기준점뿐 아니라 출발점과 도착점의 순서에도 영향을 받으므로, 계산 전에 화살표의 방향을 먼저 적어 두어야 한다.
성분 부호를 바꾼 독립 검증
새 문제로 점 C(-2, 3), D(1, -1)을 생각하고, C를 새 기준점으로 삼아 D의 위치벡터를 구한다.
벡터 CD = (1 - (-2), -1 - 3) = (3, -4)
이번에는 두 번째 성분의 부호가 달라졌지만 계산 결과는 (3, -4)이다. 역으로 C(-2, 3)에 벡터 (3, -4)를 더하면 (1, -1)이 되어 D가 정확히 나온다. 따라서 기준점을 바꿀 때는 기존 성분을 복사하지 않고, 새 기준점에서 도착점까지의 좌표 차를 다시 계산해야 한다.