안산고2수학과외에서 삼각부등식을 다룰 때 자주 드러나는 오류는 경계각을 계산하지 못하는 데 있지 않다. 값을 구한 뒤에도 부등호가 허용하는 끝점을 표시하지 못하는 데 있다. 고잔동·선부동처럼 통학과 과제 시간이 함께 늘어나는 생활권에서는 풀이 여백이 짧아지면서 이 판단이 더 쉽게 생략된다.
cos x ≥ 1/2에서 열린점으로 표시한 이유
구간 0≤x<2π에서 다음 부등식을 풀어 보자.
2cos x−1≥0
먼저 계수와 부호를 정리하면
cos x≥1/2
기본각은 π/3이고, 코사인이 양수인 제1·제4사분면을 사용한다. 따라서 경계각은 π/3, 5π/3이다. 원래 부등호가 ≥이므로 등호가 성립하는 두 경계각도 포함된다.
정답은
0≤x≤π/3 또는 5π/3≤x<2π
이다. 그런데 풀이 여백에 π/3을 열린점으로 표시했다면, 이는 각도를 잘못 계산한 것이 아니라 부등호의 경계 포함 여부를 놓친 오류다. 실제로 x=π/3을 대입하면
2cos(π/3)−1=2·1/2−1=0
이므로 부등식에 포함된다. 수직선이나 단위원에 표시할 때는 π/3과 5π/3 모두 닫힌점이어야 한다.
풀이를 조건·계산·검산으로 나누기
경계각부터 표시하는 습관을 고치기 위해 답안을 세 칸으로 나눈다.
- 조건: 구간과 부등호를 적는다. 0≤x<2π, cos x≥1/2
- 계산: 기본각과 해당 사분면을 찾는다. α=π/3, 코사인 양수인 제1·제4사분면
- 검산: 경계각을 원래 식에 대입하고 끝점 포함 여부를 확인한다.
예를 들어 π/3에서 원래 식의 값이 0이므로 닫힌점, 5π/3에서도 값이 0이므로 닫힌점이라고 직접 기록한다. 오류가 발생하면 세 칸 중 어느 칸에서 처음 잘못되었는지 표시하고 그 칸만 다시 쓴다. 계산은 맞는데 점만 열어 두었다면 계산 칸이 아니라 검산 칸의 오류다.
부호가 바뀐 문제에서 끝점이 달라지는지 확인하기
다음 문제는 계수와 삼각함수, 부등호를 모두 바꾼 검증 문제다.
−2sin x+1<0, 0≤x<2π
양변을 정리하면
sin x>1/2
기본각은 π/6이며 사인값이 양수인 제1·제2사분면을 고려한다. 그러나 부등호가 >이므로 sin x=1/2인 경계각 π/6, 5π/6은 포함하지 않는다.
따라서 해는
π/6<x<5π/6
이다. 부분적으로 작성된 풀이가 다음과 같다고 하자.
sin x>1/2 → 기본각 π/6 → 제1·2사분면 → π/6≤x≤5π/6
여기서 처음 잘못된 줄은 마지막 줄이다. 기본각과 사분면 판단은 맞지만, 원래 부등호가 엄격한 >이므로 두 경계각을 닫힌점으로 바꿀 수 없다. 마지막 줄을 π/6<x<5π/6으로 고친 뒤, 두 경계각을 원래 식에 대입해 각각 0이 되는지 확인하면 풀이가 완성된다.