안산고1수학과외, 행렬 곱셈의 크기 조건부터 확인하기
고잔동이나 선부동에서 학교 과제와 이동 시간을 함께 관리하는 고1 학생에게 행렬 문제는 계산량보다 풀이의 시작점이 더 중요할 수 있다. 특히 학교 프린트에서 행렬의 크기와 원소가 바뀌면 익숙한 계산 절차를 그대로 적용하기 쉽다. 행렬 곱셈은 원소를 보자마자 계산하는 것이 아니라, 먼저 두 행렬의 곱이 정의되는지 판단해야 한다.
곱셈 기호 앞에서 먼저 비교할 두 숫자
행렬 A가 m×n 행렬이고 B가 p×q 행렬일 때, AB가 가능하려면 n=p여야 한다. 즉 앞 행렬의 열의 개수와 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 한다. 곱의 결과는 m×q 행렬이 된다.
예를 들어
A = [[1, -2, 3], [0, 4, 5]]는 2×3 행렬이고, B = [[2, 1], [-1, 0], [3, 2]]는 3×2 행렬이다. A의 열 수 3과 B의 행 수 3이 같으므로 AB는 가능하며 결과는 2×2 행렬이다.
반대로 C가 2×2 행렬이라면 AC는 A의 열 수 3과 C의 행 수 2가 다르므로 정의되지 않는다. 원소를 곱해 볼 수 있는 것처럼 보여도 계산을 시작할 수 없는 경우다.
다음 풀이줄로 넘어가기 전에 빠진 표시
안산의 학교에서 받은 행렬 프린트의 변형 문제에서 학생은 새 행렬의 원소를 보고 곧바로 첫 번째 행과 첫 번째 열을 곱하는 줄을 적었다. 답안에는 행렬의 크기를 표시한 흔적이 없었고, 2×3 행렬과 2×2 행렬의 곱을 계산하려고 했다. 이 장면은 원소 계산 방법을 전혀 모른다기보다, 곱셈 가능 조건을 확인하는 판단이 풀이 과정에 아직 들어오지 않은 상태를 보여준다.
잘못 적은 풀이: [[1, 2, -1], [3, 0, 4]] [[2, 1], [-1, 3]]에서 첫째 원소를 1×2+2×(-1)로 계산한다.
첫 번째 행렬은 2×3, 두 번째 행렬은 2×2이다. 앞 행렬의 열 수는 3이고 뒤 행렬의 행 수는 2이므로 이 곱은 정의되지 않는다. 따라서 -1이나 3 같은 원소를 이용해 계산한 값은 결과 행렬의 원소가 될 수 없다.
계산보다 먼저 답안에 남길 한 줄
오답을 고칠 때는 전체 계산을 지우고 반복하지 않는다. 곱셈 기호 앞뒤에 행렬의 크기를 직접 적는다.
(2×3)(2×2)
그다음 안쪽 숫자 3과 2를 비교해 서로 다르다는 사실을 표시한다. 이 한 줄에서 곱셈 불가를 판단한 뒤, “따라서 AB는 정의되지 않는다”라고 결론을 쓴다. 곱이 가능한 경우에는 (m×n)(n×q) = m×q 형태로 바깥 숫자만 남긴다.
예를 들어 P가 3×2, Q가 2×4라면 PQ는 가능하고 결과의 크기는 3×4이다. 실제 계산을 시작한 뒤에도 한 행과 한 열을 곱해 만든 결과가 3행 4열인지 확인하면 크기 판단과 계산 결과를 함께 점검할 수 있다.
크기와 원소를 모두 바꾼 확인 문제
복습이 끝난 뒤에는 같은 행렬을 다시 풀지 않고 다음처럼 조건을 바꾼다.
R = [[2, 0, -1], [1, 3, 4]], S = [[1, 2], [0, -1], [3, 1]]일 때 RS의 가능 여부와 결과 행렬의 크기를 판단한다.
R은 2×3, S는 3×2이므로 곱셈이 가능하고 결과는 2×2이다. 실제로
RS = [[-1, 3], [13, 1]]
이다. 여기서 확인할 행동은 숫자를 맞히는 것만이 아니다. 학생이 먼저 “3=3이므로 가능, 결과는 2×2”라고 적은 뒤 행과 열의 내적을 계산했는지를 본다.
계산·자료·설명으로 이어지는 재확인
중2 선행 맛보기 문제에서는 행렬 대신 배열의 행과 열을 세어 두 표의 결합 가능 여부를 판단하게 하며 조건을 바꾼다. 이후 계산 문제에서는 3×1과 1×2의 곱, 자료 문제에서는 표의 행·열 개수, 설명 문제에서는 “앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 한다”는 문장을 확인한다.
수행평가 피드백에서 빠진 단계가 곱셈 가능 조건 확인으로 표시되었다면, 세 유형의 문제에서 같은 판단을 스스로 재현했을 때 복습을 마친다. 결과만 맞는지가 아니라 크기 표시, 안쪽 숫자 비교, 결과 행렬의 크기 설명이 모두 나타났는지를 기준으로 종료 시점을 정한다.