장현동고2수학과외

장현동 고2수학과외, 망원형 합을 부분합의 구조로 읽는 연습

장현동은 장현4단지와 장현LH23단지 등이 형성된 생활권이지만, 해당 지역명 주소의 고등학교는 확인되지 않습니다. 따라서 군서고등학교, 은행고등학교, 시흥고등학교 등 시흥시 내 학교로 통학하는 상황에서는 이동 시간과 과제 사이에 풀이 과정을 생략하기 쉽습니다. 특히 수열의 시그마 문제에서는 계산 결과보다 각 항이 어떻게 소거되는지를 남기는 습관이 필요합니다.

첫 항과 끝 항만 남긴 풀이의 오류

다음 합을 계산한다고 하자.

S_n = Σ_k=1ⁿ 1/[k(k+1)]

오답표에는 항을 펼치지 않고 첫 항과 끝 항만 사용한 풀이가 적혀 있었다.

1/[1·2] + 1/[n(n+1)] = 1/2 + 1/[n(n+1)]

그러나 시그마는 첫 항과 마지막 항만 더하는 기호가 아니다. 모든 항의 합을 뜻하므로 부분분수로 항의 구조를 먼저 보존해야 한다.

1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)

따라서

S_n = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ··· + (1/n - 1/(n+1))

중간 항들이 소거되어

S_n = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)

이 된다. 예를 들어 n=3이면 실제 합은

1/2 + 1/6 + 1/12 = 11/12

이다. 첫 항과 끝 항만 계산하면 1/2 + 1/12 = 7/12가 되어 값이 달라진다. 간단한 n=3 대입만으로도 생략된 항을 확인할 수 있다.

S_n과 일반항을 분리해 기록하기

이 식을 수열의 부분합으로 연결할 때는 각 항을 먼저 정의한다.

a_k = 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1),
S_n = Σ_k=1ⁿ a_k = n/(n+1)

즉, 망원형 소거는 부분합 S_n을 계산하는 과정이며, a_k 자체와 S_n을 같은 것으로 쓰면 안 된다. 풀이할 때는 시그마를 곧바로 끝내지 말고, 적어도 두세 항을 펼쳐 소거되는 항을 확인한 뒤 일반식을 적도록 한다.

표현이 달라진 문제에서도 같은 판단을 적용할 수 있다.

T_n = Σ_k=2ⁿ 3/[k(k-1)]

이번에는

3/[k(k-1)] = 3/(k-1) - 3/k

이므로

T_n = 3(1 - 1/2) + 3(1/2 - 1/3) + ··· + 3(1/(n-1) - 1/n) = 3 - 3/n

처럼 시작 인덱스가 2로 바뀌면 남는 첫 항과 마지막 항도 함께 바뀐다. 계수와 분모의 순서가 달라졌을 때도 원래 합의 항을 보존하는 것이 우선이다.

중간식을 비워 둔 문항에서 구조 복원하기

다음과 같이 중간 계산이 비어 있다면 빈칸을 답만으로 채우지 않고 각 항의 차이로 복원해야 한다.

Σ_k=1^m 2/[k(k+1)] = 2Σ_k=1^m(1/k - 1/(k+1)) = 2[(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ··· + (1/m - 1/(m+1))] = □

마지막 빈칸은

2(1 - 1/(m+1)) = 2m/(m+1)

이다. 이때 2를 일부 항에만 곱하거나, 마지막 항 1/(m+1)을 빠뜨리면 원래 식이 보존되지 않는다. 장현동에서 통학과 과제가 겹쳐 풀이를 짧게 적더라도, 부분분수 전개와 소거식만큼은 남겨야 변형 문제에서 같은 판단을 유지할 수 있다.