장현동 고3수학과외에서 다루는 이차곡선 접선의 조건 해석
장현동에서 시흥시 통학권의 고등학교로 이동하는 고3 학생은 이동 시간과 과제 부담 때문에 풀이를 빠르게 끝내려는 습관이 생기기 쉽다. 그러나 이차곡선 접선에서는 계산 속도보다 초점·축·평행이동 조건이 서로 어떤 관계를 만드는지 먼저 확인해야 한다.
한 접점만 잡았던 풀이의 오류
문제에서 포물선의 초점이 \(F(2,1)\), 준선이 \(x=-2\)이고 점 \(P(4,3)\)에서 그은 접선의 방정식을 구한다고 하자. 학생은 이전에 보던 포물선 \(y^2=4ax\)의 모양을 그대로 떠올린 뒤, 접점을 하나만 둔 채 다음처럼 계산했다.
접점을 \(T(t,\,t^2/4)\)로 두고 \(P\)가 접선 위에 있으므로
\(3-\frac{t^2}{4}=\frac{t}{2}(4-t)\)
이 식은 \(y^2=4ax\) 형태를 임의로 적용한 것이므로 오답이다. 주어진 포물선은 초점과 준선으로 결정되며, 축이 \(x\)축이라는 조건도 제시되지 않았다.
초점과 준선에서 실제 포물선 복원하기
포물선 위의 점을 \(X(x,y)\)라 하면 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다.
\[ \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|x+2| \]
양변을 제곱하면
\[ (x-2)^2+(y-1)^2=(x+2)^2 \]
정리하여
\[ y^2-2y-8x+1=0,\qquad (y-1)^2=8(x-1) \]
따라서 꼭짓점은 \(V(1,1)\), 초점은 \(F(3,1)\)이어야 한다. 그런데 문제에 제시된 \(F(2,1)\)과는 맞지 않으므로, 학생은 계산 전에 조건의 모순을 찾아야 한다. 즉 이 문제의 조건 그대로라면 해당 포물선은 존재하지 않는다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 초점·준선 관계를 체크박스로 나누어 확인했다.
- 초점 \(F(2,1)\)과 준선 \(x=-2\)의 중점 방향: 축은 \(x\)축과 평행
- 초점과 준선 사이 거리: \(4\)
- 꼭짓점: \(V(0,1)\)
- 따라서 올바른 식: \((y-1)^2=8x\)
이제 접점 \(T(t,1+s)\)를 하나만 가정하지 않고, 포물선 위 조건 \(s^2=8t\)를 함께 사용한다. \((y-1)^2=8x\)의 접선은 매개변수 \(s\)에 대해
\[ s(y-1)=4x+2s^2 \]
이다. 점 \(P(4,3)\)을 대입하면
\[ 2s=16+2s^2 \]
\[ s^2-s+8=0 \]
판별식이 \(1-32=-31<0\)이므로 실수 접선은 없다. 학생은 접선이 반드시 존재한다고 가정하지 않고, 판별식으로 결과를 검산했다.
표현을 바꾼 독립 검증
같은 포물선 \((y-1)^2=8x\)에서 외부점 \(Q(6,5)\)를 잡아 접선의 개수를 확인한다. 접선식에 \(Q\)를 대입하면
\[ 4s=24+2s^2 \]
\[ s^2-2s+12=0 \]
판별식은 \(4-48=-44<0\)이다. 따라서 \(Q(6,5)\)에서도 실수 접선은 없다. 학생은 접점을 하나만 설정하는 대신 매개변수 \(s\)가 만드는 이차방정식의 실근 개수로 접선의 존재 여부를 독립적으로 확인했다.
마지막으로 \(s^2=8t\)를 역대입해 접점의 \(x\)좌표를 복원하고, 얻은 값이 포물선 식과 접선식에 동시에 들어가는지 대조하면서 조건 확인 → 식 수정 → 판별식 → 역계산의 순서를 정리했다.